复变函数与积分变换复习重点

复变函数重点记忆

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：z x iy，x,y是实数, x Re z ,y Im z .i2 1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1

）模：z

2）幅角：在z 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z 是位于( , ]中的幅角。

y

之间的关系如下： x

y

当x 0, argz arctan；

x

3）arg z 与arctan

y

y 0,arzg ar a n x

当x 0, ；

y y 0,argz arctan

x

4）三角表示：z z cos isin ，其中 argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z zei ，其中 argz。 (二) 复数的运算

1.加减法：若z1 x1 iy1,z2 x2 iy2，则z1 z2 x1 x2 i y1 y2 2.乘除法：

1）若z1 x1 iy1,z2 x2 iy2，则

z1z2 x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2 ；

x iy x2 i 2y xz1x iyxy111 21y2

1 1 i2z2x2 iy xi2y 2xi2y2 2x222y

yy1x22x1

。 22

2x2y

2）若z1 z1ei 1,z2 z2ei 2, 则

z1z2 z1z2e 1

i 2

；

zi z1

1e 12 z2z2

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3.乘幂与方根

1） 若z z(cos isin ) zei ，则zn z(cosn isinn ) zein 。 2） 若z z(cos isin ) zei ，则

n

n

2k 2k

z cos isin

nn

1

n

(k 0,1,2 n 1)（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：w f z ，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数

1）指数函数：ez ex cosy isiny ，在z平面处处可导，处处解析；且 ez ez。 注：ez是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数： Lnz lnz i(argz 2k )(k 0, 1, 2 )（多值函数）；

主值：lnz lnz iargz。（单值函数）

1

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且 lnz ；z

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab ebLna

(a 0)；zb ebLnz

(z 0)

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且 zb bzb 1。

eiz e izeiz e izsinzcosz

,cosz ,tgz ,ctgz 4）三角函数：sinz 2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面内解析，且 sinz cosz, cosz sinz

注：有界性sinz 1,cosz 1不再成立；（与实函数不同）

ez e zez e z

,chz 4） 双曲函数 shz ； 22

shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且 shz chz, chz shz。

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（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：f z0 =lim

f z0 z f z0

z

z 0

；

2）区域可导： f z 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念

1）点解析： f z 在z0及其z0的邻域内可导，称f z 在z0点解析； 2）区域解析： f z 在区域内每一点解析，称f z 在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f z 的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：f z u x,y iv x,y 在z x iy可导

u v

且在 x,y 处满足C D条件： , u x,y 和v x,y 在 x,y 可微，

x y

u v y x

此时， 有f z

u v

i。 x x

2．函数解析的充要条件：f z u x,y iv x,y 在区域内解析

u x,y 和v x,y 在 x,y 在D内可微，且满足C D条件：此时f z

u v i。 x x

u v , x y u v ； y x

注意： 若u x,y ,v x,y 在区域D具有一阶连续偏导数，则u x,y ,v x,y 在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足

C R条件时，函数f(z) u iv一定是可导或解析的。

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3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件 （函数以f z u x,y iv x,y 形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f z 是以z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质 1．

复变函数积分的概念： f z dz lim f k zk，c是光滑曲线。

c

n

k 1n

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2．

c

复变函数积分的性质

c

1） f z dz 1f z dz （c 1与c的方向相反）； 2） [ f z g z ]dz f z dz g z dz, , 是常数；

c

c

c

3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则 f z dz f z dz f z dz。

c

c1

c2

3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分： f z dz udx vdy i vdx udy；（常用于理论证明）

c

c

c

2）参数方法：设曲线c： z z t ( t )，其中 对应曲线c的起点， 对应曲线

c的终点，则 f z dz f[z t ]z (t)dt。

c

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f z 在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

f z dz 0

c

2．复合闭路定理： 设f z 在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，

c1,c2, cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2, cn为边界的

区域全含于D内，则

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① f z dz, 其中c与ck均取正向； f z dz

c

k 1ck

n

1② ，其中由及c(k 1,2, n)所组成的复合闭路。 fzdz 0c

3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f z 沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f z 不解析的奇点。 4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f z 在单连域B内解析，G z 为f z 在B内的一个原函数，则 f z dz G z2 G z1

z1z2

(z1,z2 B)

说明：解析函数f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。 柯西积分公式：设f z 在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则

f z z z0

2 if z0

c

6．高阶导数公式：解析函数f z 的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

f z (z z0)

dz n 1

2 i n

f z0 n!

(n 1,2 )

c

其中c为f z 的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：

2 i,1

dz n 1 (z a) 0,c

n 0n 0

。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若f z 在区域D内处处不解析，用一般积分法 f z dz f[z t ]z t dt

c

2）设f z 在区域D内解析，

c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理， cf z dz 0 c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对 …… 此处隐藏：6289字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……