西安交大计算方法A考点总结【1-9章】

西安交大 计算方法A 考点总结

第一章

1、误差的来源与分类：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 2、准确到n位小数：

x x 0.5 10 n （第n位是四舍五入来的）； 1 t 1

（t 是字长， 是进制） 2

准确数字（有效数字）：从最左端的非零数字到小数点后最后一位之间的一切数字。 3、计算机的相对精度：

为了避免大数吃小数问题，对于若干个数相加时，宜采取绝对值较小的数先加的原则； 为了减少舍入误差，节省计算时间，在计算时应尽量简化计算步骤，减少运算次数。 4、数学问题的条件数：

xi 和； xy xii

条件数很大的问题成为病态问题：数据发生微小的变化将引起解发生剧烈变化的问题，

这是数学问题的固有特征。

凡是计算结果接近零的问题往往是病态问题，因此在实际计算中要避免两个相近的数字 相减。 实际计算中，要避免绝对值很大的数作乘数、绝对值很小的数作除数。

5、舍入误差可控或舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，则该算法数值稳定。 应采用算法数值稳定性好的算法。

第二章

1、高斯消去法（消元+回代）消元：将其化为一个等价的同解的上三角方程组

n3n25n

运算量：消元过程乘除法的运算量为：

326

n2n

回代过程乘除法的运算量为：

22

n32n

故用高斯消去法解n阶线性方程组的乘除法运算量为： n

33

高斯消去法顺利进行的条件是：akk

k 1

0

1）系数矩阵A的各阶顺序主子式不等于零；

2）系数矩阵A是对称正定矩阵；

3）系数矩阵A是严格对角占优矩阵。 2、列主元高斯消去法 选择列主元+交换方程位置（有利于控制误差的传播，具有较好的数值稳定性） 3、矩阵的LU分解（Doolittle分解）

如果n阶矩阵A的顺序主子式Dk

0，则矩阵A可以唯一地分解为一个单位下三角矩

阵L和一个上三角矩阵U的乘积。

1）先算第一行（照抄）和第一列（除以U11）；

2）再算第二行、第二列；第三行、第三列；……算行时，是原数减去它所在行和所在列

西安交大 计算方法A 考点总结

对应元素乘积的和（1到j-1）；算列时，类似行，但要除以Uii A=LU Ax=b ===== LUx=b ===== Ly=b Ux=y 4、平方根法（对称正定矩阵的Cholesky分解） A=GGT Ax=b ===== GGT x=b ===== Gy=b GTx=y

G的计算方法： 1

）g11

，g的第一列等于a的值除以g11；

2）算对角线元素，等于原数减去它所在行前面g的平方和，再开根号；

3）算对角线元素所在列的各个元素的值（gij等于aij减去G的第i、j行元素乘积的和（从第1列到第j-1列）不要忘了除以G的对角元素）。

n32n

共需要 n 个乘除法和n个开方运算。

66

n2n改进平方根法：A=LU=LDL 比平方根法多了 个乘除法，省去了开方运算！

22

T

5、追赶法（三对角方程组） 本质是三对角矩阵的LU分解。 6、向量范数

x

非负性；齐性；三角不等式。

x 元素绝对值之和； x2 元素平方和的平方根； x 元素绝对值的最大值；

7、矩阵范数

A

非负性；齐性；三角不等式；相容性。

A1 列范数（第1到第n列元素绝对值之和的最大值） A2 谱范数（ATA的特征值的最大值的平方根）

A

行范数（第1行到第n行元素绝对值之和之和的最大值）

矩阵A的谱半径

A 是矩阵A的 i

的最大值（谱半径不超过A的任一种范数）

1

定理：设

B 1，则I B是可逆矩阵，且 I B

1

1 B

8、舍入误差对解的影响 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A和右端项b各有微小扰动 A和 b，扰动后的方程组

西安交大 计算方法A 考点总结

为

A A x x b b，当

A 1A 1时，方程组近似解x的相对误差估计式为

证明方法：1）扰动方程与原方程相减；

2）运用定理对 x的系数矩阵进行缩放； 3） x两边取范数并缩放；两边同时除以

9、设A为非奇异矩阵，则Cond A

x

（条件数与范数有AA 1，称为矩阵A的条件数。

关，因此有p条件数）常用Cond2 A 特别的：

对称矩阵A，Cond2 A 正交矩阵A，Cond2

和Cond

A

1

n

， 1， n分别是矩阵A绝对值最大和最小的特征值；

（注：正交矩阵A满足AT A 1） A 1。

条件数大的矩阵称为病态矩阵，相应的方程组为病态方程组；

条件数小的矩阵称为良态矩阵，响应的方程组为良态方程组。

病态方程组的判定：

1） 系数矩阵的行或列近似线性相关； 2） 系数矩阵元素数量级差距悬殊； 3） 解对系数矩阵元素变化很敏感；

4） 消去法求解过程中，出现数量级很小的主元素； 5） 求出的解与预期的解相差很大。 措施

1） 采用高精度计算，减小舍入误差； 2） 采用稳定性好的算法； 3） 采用平衡措施；（将系数矩阵的各行除以该行绝对值最大的元素） 4） 采用迭代改善技术。

吉文斯变换P（单位矩阵更换四个元素）：将向量x按顺时针方向作 度的旋转； 豪斯霍尔德变换H（对称正交矩阵）： 将向量x关于 平面对称。

QR分解用于求解病态方程组、超定方程组等。

第三章

1、向量序列收敛的充要条件是lim

k

x* x k 0

西安交大 计算方法A 考点总结

矩阵收敛的充要条件是lim

k

A* A k 0

limBk 0 谱半径 B 1

k

2、迭代法的一般格式 3、雅克比迭代

x k 1 Bx k g （注：B是个对角元素均为0的方阵）

（本质就是第i个式子表示出xi） k 1

4、高斯赛德尔迭代

对雅克比迭代进行改进，计算xi

k 1

x1 k 1 ,x2

时，把用到的x1

k

k ,x2k xi 1换为已经计算出来的

k 1

xi 1。可以加快收敛！

5、逐次超松弛迭代法（SOR）

对高斯赛德尔进行改进，迭代格式：xi

k 1

xi k ri k 1 /aii （其中：ri k 1 是第k+1

步迭代的

SOR迭代格式（加松弛因子w）：xi k 1

xi k ri k 1 /aii

6、迭代法的收敛性

k 1

A=D-E-F （D是对角线，E是负的下三角，F是负的上三角） Dx E F x k b

对于雅克比迭代法： 对于高斯赛德尔迭代法： 对于超松弛迭代法：

Dx k 1 E F x k b

Dx k 1 Ex k 1 Fx k b

Dx k 1 1 Dx k Ex k 1 Fx k b

1）迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵B的范数2）迭代法收敛的充要条件：limB

k

k

B 1

0 谱半径 B 1

3）超松弛迭代法收敛的必要条件是：0 2

0

4）系数矩阵A是严格对角占优矩阵，则对任意给定的初始向量x，雅克比迭代法、

高斯-赛德尔迭代法和0 1的超松弛迭代法收敛。

西安交大 计算方法A 考点总结

5）A是对称正定矩阵（所有特征值都为正或各阶顺序主子式都为正），则对任意给定的 0

初始向量x，雅克比迭代法收敛的充要条件是2D A是对称正定矩阵。

6）A是对称正定矩阵，高斯-赛德尔 …… 此处隐藏：6511字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……