2015年新北师大版直角三角形的边角关系讲义

第一章 直角三角形的边角关系

知识点一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sinc），记作sin A，即sinA

A的对边斜边 a

c

。

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，

即 cos

A A的邻边b

斜边 c

；

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A，即tanA

A的对边a

A的邻边＝b

。

特殊角的三角函数值 解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：

（1）三边之间关系：a2 b2 c2； （2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间关系：sinA=

ac，cosA=bc，tanA=a

b

。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）

(4)面积公式：S ABC

12ab 1

2

ch(h为斜边上的高) 1

除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素

2、解直角三角形的基本类型和方法：

在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来

解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化

3、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

2

tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系

sin2A cos2A 1

（3）倒数关系

tanA tan(90°—A)=1

坡度的定义及表示

我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：tana h

l

注意：

（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；

（2）若坡角为a，坡度为i h

l

tana，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。

1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）

根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值

。

、

正弦、余弦的增减性：

当0°≤ ≤90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。正切、余切的增减性：

当0°< <90°时，tan 随 的增大而增大，

3

锐角三角函数计算的实际应用（难点）

仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。

说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。

1、方向角的定义

方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以

4

【巩固训练】

1.（2014年广东汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ） A．

B．

C．

D．

2．(2014年天津市) cos60°的值等于（ ） A．

B．

C．

D．

3．（2014 浙江湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ） A．2

B． 8

C． 2

D．4

4.（2014 扬州）已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）

A．

3 B．4

C．5

D．6

5、 （ 2014 广西贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．

6、（2013 孝感）式子

的值

CD=3：2，则tanB=（ ）

5

把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的 ）

A．不变 B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍 D．不能确定

12、

（

2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长 ． 13 （2012 宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（ ）

A．4 B．2

C．

D．

123相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin 的值是（ ）

1 3

16 B. 317 C. D.

510

A.

9、（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=

；②cosB= ；③tanA=

；④tanB=

，其中正确的结论是

（只需填上正确结论的序号）

10、（2013 攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是 ．

6

14、（2013甘肃兰州）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，

如果a2+b2=c2

，那么下列结论正确的是（ ）

A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b

15．（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA

的值为

图4

1A．

2

B

C

D

16．（2012 济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣

）

2

=0，则∠C=．

17.（2012衡阳）观察下列等式 ①sin30°= cos60°= ②sin45°= cos=45°= ③sin60°=

cos30°=

根据上述规律，计算sin2

a+sin2

（90°﹣a）= ．

18．（2012攀枝花）计算：．

19．（2012深圳）计算：|4| (1) 1

2

(3 1)0 cos45

20．（2012 德阳）计算：

．

21．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=

1

5

，则AD的长为

7

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）1

22．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝ ，那么AB等于（ ）

(A) m·sin 米 (B) m·tan 米

(C) m·cos 米 (D)

m

tan

米 Am

B

(第8题图)

23．（2010湖北省咸宁）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行

直线间的

距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直 线上，则sin ．

A l1 B

D l2