abc数学竞赛辅导练习题答案1

初中数学竞赛,辅导

数学竞赛辅导练习题答案2006、10、22

1．根据不等式性质，选B．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．

4．由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0． 当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

限． 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

y=-x-1，则直线通过第二、三、四象

的可以区间，如图3－272．

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+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6、原式＝。

7、解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－

（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴

。

8、解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；

，故图D不

图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于对；故选B。

9、解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。 10、解：

，只要令

，

，则

有理数，故（乙）不对；又若令命题个数是0，应选（A）。

为有理数，故（甲）不对；又若令

，则

，，则为

为有理数，故（丙）不对；故正确

二、填空题

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因

为AD=12，AB=5，所以BD=13

，所

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9．因为a≠0，解得故a可取1，3或5．

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1

，

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

1． 3 m 5 1，

11 1

，

m45 1

∴ m

153 1

， m 3. m44 m

2．

22

如图，AD为直角A的平分线，过B作BE//DA交CA的延长线于点E. EBA BAD 45 ， 3

ADAC2222

，∴AD EB . EBCE333

AE AB 1，EB 2，又 CDA∽ CBE，

3．2

x3 2x 1 (x3 x2 x) (x2 x 1) 2 x(x2 x 1) (x2 x 1) 2 2. 4．3

因为m、n为有理数，方程一根为5 2，那么另一个根为 2，由韦达定理. 得 m 4，n 1，∴m n 3.

16AEBEEGEF FG

5． 由原图 ，

3EFEDAEAE

AE25216

EF 3 (厘米). ∴ FG EF33

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6．16 n2 m2 3995 5 17 47, (n m)(n m) 5 17 47.

显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共2 2 2 2 16(个). 7．11 11个相继整数的平方和为

(x 5)2 (x 4)2 x2 (x 4)2 (x 5)2 11(x2 10) y2, 则y最小时，从而x2 1，∴y 11.

8．

∵ MBP∽ CBA， S MBP:S CBA 1:3， BP:BA 1:3, ∴ BA 23，AC . S ABC 9．4

1

2 . 2

20BE4BFS ABF2

, ∵ ，同理

BA527BCS ABC7

由原图，连BG. 记S AGE a，S EGB b，S BGF c，S EGc d. 又由已知 a b c 5，b c d 14，解之得 b ∴ SBEGF b c

12820

4(平方厘米). 2727

28100

， c . 2727

10、解：，即

，

，

，

，，。

11、解：左边＝，即，，而

为整数，且不相等，

只可能取值或。不妨设，则

，或

，∵（2）无整数解，由（1）得

12、

，。

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解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴

，即，BT＝

，代入（1）式得

。令DN＝1，CT＝MD＝，则AM＝，BM

＝，注意到

，解

得

三、解答题 1、

。

解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°， ∠CED＋∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

所以

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解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠FEH， 于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

2、解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有

，

，，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15

＝20，∴平均成绩为答：班平均成绩为42分。

。