高中数学延伸拓展教学的多维研究思路(2)

　　同样来看一个例子（考虑到现实需要，这里呈现的问题仍然是一般意义上的数学习题，而非与生活关系更为密切的、可以用数学模型来解决的现实问题，前者是后者抽象的结果）. 这则例子来源于苏教版高中数学必修2中的一个例题：判断圆（x+2）2+（y-2）2=1与圆（x-2）2+（y-5）2=16的位置关系. 一般情况下，本问题解决的思路是求出两个圆的圆心，然后再求出圆心距；将之与两圆半径之和进行比较，即可得到结果. 如果这样，那本题就是一道简单的命题，除了巩固学生的新知之外，没有其他价值. 
　　但若从延伸拓展的角度来看，本题实际上是可以进行思维的发散性训练的，在这种发散性训练中，还可以让学生对已有的数学知识进行更有效的整合. 比如说我们可以向学生追问这样的几个问题：本问题解决的思路是什么？经由学生思考，可以梳理出是基于圆心距之和与半径之和的比较；有没有其他的解题思路？思维发散的基本提问方式；两个圆的方程可否转换为方程组？如果求解，其得到的解又有什么数学意义？　　还有研究者更精辟地指出，如果在此时超越本题，而向学生提出问题：如果将两个圆的方程相减，那将会得到什么？（这是一个高中学生能够解决的问题，但又不是教材上出现的问题；至于两圆相加得到的圆系方程，有兴趣的同行不妨研究）得到的这个直线方程与两圆又是什么样的关系？ 
　　这样的延伸拓展，可以将学生的视线延伸到原来的问题之外，也可以让学生认识到即使最为简单的数学问题，也都可以进行有价值的延伸. 当然，有价值的延伸并不一定需要延伸，但这样的意识形成，实际上有助于学生将来遇到更为复杂的数学问题时，可以以一种更理性的心态去面对，以一种更冷静的心态去将难题逐步分解成相对简单的问题. 这是实实在在的问题解决能力的体现. 
　　学习反思，基于思维规律实现延伸拓展 
　　高中数学学习能力的一个重要体现，就是学生的反思能力. 相对数学知识的构建而言，反思能力更加直接地指向学生的学习品质. 学习后的反思过程，原本就是学习过程的延伸，如果在延伸的过程中再加以拓展，那学生的数学学习品质就有可能得到真正的提高，而学习后的反思也正是当前高中数学教学中比较薄弱的一环. 
　　笔者在实践中尝试在学生学习之后引导反思，从环节分类来看，也是从数学概念建构、数学规律内化、数学问题解决能力的提高等维度来进行的. 从现实角度来看，在问题解决的过程中引导学生进行学习反思，是比较重要的选择. 
　　例如，在函数概念与基本初等函数中学习到的分段函数，教材上给出的数学问题是源于实际生活中出租车收费标准的问题：某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 试写出收费额关于路程的函数解析式. 
　　这一问题的解决有两个过程：一是生活事实向数学表达的抽象，这一步并不复杂；二是分段函数的得出. 有学生在解题过程中会写出y=7（03）的表达式.而在教师给出y=7（0　　2.4（x-3）+7（x>3）之后，有学生认为两者并无本质区别. 于是，数学形式与数学本质之间的关系就成为可以延伸拓展的重要研究命题之一. 从教师的角度来讲，教师必须知道数学内容与数学形式之间的关系，而对于学生的学习而言，需要让学生知道的则是每一个数学内容都应当有对应的数学形式，数学形式背后是数学逻辑关系的体现. 只有认识到这一点，基于分段函数的延伸拓展教学，才有了纯粹的数学意义. 
　　因此，数学学习后的反思尤其是从某一个知识点向数学本质的延伸拓展，应当成为高中数学教师的教学自觉.