高一数学函数单调性知识点复习

篇一：高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

第3讲函数的单调性

教学内容

一、知识梳理

单调性定义

设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A.

如果取区间M上的任意两个值x1 , x2，改变量?x?x2?x1＞0，则 当?y?f(x2)?f(x1)＞0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数； 当?y?f(x2)?f(x1)＜0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数． 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间）．

25

二、方法归纳

在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．

设x1,x2??a,b?，若有 （1）

f(x1)?f(x2)

x＞0，则有f(x)在?a,b?上是增函数．

1?x2（2）

f(x1)?f(x2)

x＜0，则有f(x)在?a,b?上是减函数．

1?x2

在函数f(x)、g(x)公共定义域内，

增函数f(x)?增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数． 函数的单调性常应用于如下三类问题： （1）利用函数的单调性比较函数值的大小．

（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．

（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递增，则函数值域为(f(a)，f(b))；

若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递减,则函数值域为(f(b)，f(a))； 若函数y?f(x)在定义域?a,b? 上递增，则函数值域为 [f(a)，f(b)] ； 若函数y?f(x)在定义域 ?a,b? 上递减，则函数值域为 [f(b)，f(a)]；若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递增，则函数的最大值为f(b)，最小值为

f(a) ；

若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递减，则函数的最大值为f(a)，最小值为

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f(b)；

三、典型例题精讲

［例1］若y?ax与y??b

x

在?0,???上都是减函数，对函数y?ax3?bx的单调性描述正确的是()

A. 在???,???上是增函数 B. 在?0,???上是增函数

C. 在???,???上是减函数 D. 在???,0?上是增函数，在?0,???上是减函数解析: 由函数 y?ax在?0,???上是减函数，得 a＜0，

又函数y??

b

x

在?0,???上是减函数，得 b＜0， 于是，函数ax3

，bx在???,???上都是减函数， ∴ 函数y?ax3?bx在???,???上是减函数，故选C．

【技巧提示】 熟悉函数y?ax，y?ax3

，y?bx，y?

b

x

的单调性与a、b的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．

［例2］求函数f(x)?

x?1?x?3的最大值．

解析：由f(x)?

x?1?x?3?

4x?1?x?3

，

知函数f(x)?x?1?x?3在其定义域 [3，+? ?上是减函数． 所以f(x)?

x?1?x?3的最大值是f(3)?2．

【技巧提示】 显然由x?1?x?3?

4x?1?x?3

使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．

又例 已知x??0,1?，则函数y?x?2??x的值域是 .

解析：∵ y?

x?2??x在x??0,1?上单调递增，

∴ 函数y?x?2??x的值域是?f(0),f(1)?．

即

2?1,3?．

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再例 求函数y?x??2x的值域．

解析：∵ y?x??2x 在定义域??1?

??2,????上是增函数，

∴ 函数y?x??2x的值域为 ??1?

??2,????

．

［例3］函数f(x)在R上为增函数，求函数y?f(x?)单调递减区间． 解析：令u?x?，则u在(－∞,－1]上递减， 又函数f(x)在R上为增函数，

∴ 函数y?f(x?)单调递减区间为(－∞,－1].

【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数x?的单调性，y?f(x?)与x?的单调性和单调区间相同．如果变函数f(x)在R上为减函数，那么函数y?f(x?)的单调性与函数

x?1的单调性相反，即函数y?f(x?)单调递增区间为(－∞,－1].

又例 设函数f(x)在R上为减函数，求函数y?f(1

x

)单调区间． 再例 设函数f(x)在R上为增函数，且f(x)＞0，求证函数y?

1

f(x)

在R上单调递减．

［例4］试判断函数f(x)?ax?b

x

(a?0,b?0)在?0,???上的单调性并给出证明.

解析：设x1?x2?0 ，f?x1??f?x2???xax1x2?b

1?x2?

x 由于x1?x2?01x2

故当x??x?

1,x2??? 时f??1??f?x2??0，此时函数f?x

?在???

?

上增函数，同理可证函数f?x

?在??

?上为减函数.

?28

【技巧提示】 f(x)?ax?

b

要引起足够(a?0,b?0)是一种重要的函数模型，

x

?b的重视．事实上，函数f?x??ax??a?0,b?

0?的增函数区间为???,?x?

和????

??，

减函数区间为和?．但注意本题中不能说f?x?

??????

????

?

????

?上为增函数，

在?????????上为减函数, ??

??

在???,?

??

在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．

2

又例：求函数y?x?5的最小值．

x2?4

解析：由y?

x2?5x2?4

?x2?4?

1x2?4

?u?

1

?g?u?,u??2,???,用单u

调性的定义法易证g?u??u?

21

在?2,???上是增函数，易求函数y?x?5的ux2?4

最小值为

5

为所求． 2

x2?2x?a

,x??1,???. 若对于x??1,???,f(x)再例：已知函数f?x??

x

＞0恒成立，试求a的取值范围.

x2?2x?aa

解析：由f(x)＝ ?x??2,x??1,???.

xx

当a＞0时， f?x??x?a?2 显然有f(x)＞0 在?1.???恒成立； x

x2?2x?aa

a≤0时，由f?x???x??2,x??1,???知其为增函数，只需

xx

f(x)的最小值f(1)＝3＋a＞0,解之，a＞－3.

∴当a＞－3时，f(x)＞0在?1,???上恒成立.

［例5］已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)＞0，且f(10)＝1，

设F(x)=f(x)?

1

，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论． f(x)

解析：在R上任取x1、x2，设x1＜x2，∴f(x2)＞f(x1)，

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篇二：高一数学(必修1)专题复习一函数的单调性和奇偶性

高一数学（必修1）专题复习一

函数的单调性和奇偶性

一．基础知识复习

1．函数单调性的定义：

如果函数f(x)对定义域内的区间I内的任意x1,x2，当x1?x2时都有

f?x1??f?x2?，则f?x?在I内是增函数；当x1?x2时都有f?x1??f?x2?，则f?x?在I内时减函数．

f?x1??f?x2?2．单调性的定义①的等价形式：设x1,x2??a,b?，那么?0?f?x?在 x1?x2

f?x1??f?x2??0?f?x?在?a,b?是减函数；?a,b?是增函数；

x1?x2

?x1?x2???f?x1??f?x2????0?

f(x)在?a,b?是减函数．

3．函数单调性的应用：利用定义都是充要性命题．

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