2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题(含答案)

数学竞赛题目

2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题

（满分：120分，时间：120分钟）

考试时间：2008年12月20日 上午：9：00～11：00

（每小题6分，共30分）

1.若0 a 1， 2 b 1，则

a 1b 2a b

的值是（ ） a 1b 2a b

A．0 B．－1 C．－3

D．－4 2.若x

4 3m

y

n 2

2009

是关于x,y

的二元一次方程，且mn 0，

0 m n≤3，则

m n 的值是（

）

A．－4 B．2

C．4 D．－2

3.如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即S1 S2 S3），且DE∥FG∥BC，FG－DE=（ ）

A1 B C D．2

D

C

A

A

D

S1

D

S2

F

S3

B

第3题图

CG

A

第4题图

E

O

M

P

B

B

N

第7题图

4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△BOC 9，S△AOD 25，则四边形ABCD的面积最小值是（ ）

数学竞赛题目

A．34 B．64 C．69 D．无法求出

5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ ）元.

A．2.4 B．2.1 C．1.9 D．1.8

二、填空题（每小题6分，共30分）

6.设x,y为实数，代数式5x2 4y2 8xy 2x 4的最小值为7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P.则∠NPC的度数为8.

10

.

9.如图，点A、C在反比例函数y

x 0 的图象上，B、D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是

B

A

G

P

H

F

D

C 第10题图

10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部

2

分的面积是 ㎝.

三、解答题（每小题15分，共60

分）

11.已知一次函数y ax

b的图象经过点A

2，B ，C 2,c .求

a2 b2 c2 ab bc ca的值.

数学竞赛题目

12.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE， 若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数.

D A

E

B C

13.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.

数学竞赛题目

14.如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q出同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.

（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形， 请写出推理过程； （2）当t=3秒时，求△PQF的面积；

（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出 推理过程

.

数学竞赛题目

参考答案与提示

1.C．取a 0.5,b 2.5代入计算即可.

2.A．提示：

4 3m 1 m 1

mn 0,0 m n≤3 m 1,n 3.

n 2 1 n 3

3. D.

提示：由相似三角形的性质得DE∶FG∶BC 1

DE x,FG ,BC

，则

x DE

FG 2 FG DE 24.B．提示：设S△AOB x,S△COD y，则S四边形ABCD 9 25 x y；

≥0 x y≥

2

∴S最小≥34 x

y时，S最小=34 此时BC∥AD

，x y 15. 故S最小=34 2 15 64.

5.B．设铅笔每支x元，练习本每本y元，圆珠笔每支z元，则

3x 7y z 6.3 x 2.1 3y

x y z 2.1 3y y 2y 2.1

4x 10y z 8.4 z 2y

6.3．提示：原式=4 x y x 1 3≥3. 7. 50°.过N作NG⊥PM于G，可证NG这MP的中垂线

2

2

8. 4．提示：原式

BF=m，

10 10

10

4.

2

4

9. 1.提示：作AE⊥OB

于E，CF⊥BD于F，易求OE=EB=1，设

则C( 2 m,

)，代入y

2

得m 2m 1 0,m

m

0,

m 1 1.

10.

144

.提示：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，易证四边形PMGN为正方形，可求 25

数学竞赛题目

PM

12， 5

∴S重叠=S正方形PMGN

12 144 .

525

2

11.

可求得a 1,b 1,c

1∵ a b b c 2,c a 2原式=

1 222

a b b c

c a 13 2

12.连结BD交AC于F，连EF.可证△BCF，△ADF均为正三角形.可证CB=CE. E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上， 从而可证∠EFD=∠EDF=40°， ∵EF=ED，

于是易证△ADE≌△AFE，

1

∠DAC=30°. 2

CBCD

. 13.连结AC，BD.证△BCD∽△OCA

COCA

CNCDCBCB1

CN CB. BN CN. 证△CDN∽△CAM

CMCACO2CM2

∴∠CAE=∠DAE=

14.（1）设OP 2t,OB t,PA 13 2t,要四边形PABO为平行四边形，则13 2t t

13

. 3

（2）当t 3时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.

QBODOD1 . OPDFDF2

QEBDQD1QB

OB∥DE∥PA

EFDODF2AF

∴t

∴AF=6，∴F（19，0） ∴S△PQF

1

PF 12 78. 2

3 2

（3）①QP=AP，作OG⊥x轴于G，则11 t 2t 2t 13 (11 t) t

②PQ=FP

， 13 2t 2t t 2或

16 3

③FQ=FP

13 2t 2t t 1

综上，当t

316

或2或或1时，△PQF是等腰三角形. 23