1.2.2空间两条直线的位置关系02

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空间中两直线的位置关系

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1、空间中两直线的三种位置关系1、相交m P l l l

2、平行m

3、异面直线m P

只有一个公共点

没有公共点

没有公共点 不同在任一平面

在同一平面

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空间直线与直线之间的位置关系相交直线 同在一个平面内 按是否在同 一平面内分 平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线

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因此,空间两条直线的位置关 系有以下三种:

位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 不同在任何 异面直线 没有 一平面内

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2、异面直线mP l l 图1 图2

ml

从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平 行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。

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2、异面直线 不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。(既不相交也不平行的两条直线) 判断：(1)m l

β α

m

l

直线m和l是异面直线吗? (2)a , b ,则 a 与 b 是异面直线 (3)a,b不同在平面 内,则a与b异面

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练习：在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？D1 A1 B1 C1

D A

C

B

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3、异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托,异面直线

不同在任何一个平面的特点a

bab

b

a

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思考：已知M、N分别是长方体的棱C1D1与 CC1上的点，那么MN与AB所在的直线相交 吗？D1 M C1N A1 B1

D AB

C

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4、异面直线的判定一般地, 我们有: 过平面内一点与平外一 点的直线, 和这个 平面内不经过该点的直 线是异面直线.用符号表示为 图1 2 20 : 若l , A , B , B l , 则直线AB与l是异面直线 . AB

l

图1 2 20

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例1

王新敞奎屯

新疆

如图，已知不共面的直线 a, b, c 相交于 O 点， M , P 是直线 a 上

的两点， N , Q 分别是 b, c 上的一点 求证： MN 和 PQ 是异面直线

王新敞奎屯

新疆

王新敞奎屯

新疆

a M O N P Q b c

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5、两条异面直线所成的角任选 如图所示，a,b是两条异面直线，在空间中任选一点O, 则这两条线所成 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 称为异面直线a,b所成的角。 的锐角θ (或直角), b a′ ? O P a b′

a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ 的取值范围：

(0 , ] 90

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5、两条异面直线所成的角如图1 2 21, a, b是两条异面直线, 经过空间任意一点O, 作直线a`// a, b`// b, 我们把直线a`和b`所成的锐角(或直角) 叫做异面直线 a, b 所成的角.

b

b`

b

a

a`O图1 2 21

a`a

O

为什么a`, b`所成角的大小与点 的选择无关? O

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例 2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角：D1

C1

1)AB与CC1; 3)A1B与D1B1。

2)A1 B1与AC;

A1

B1

1)AB与CC1所成的角 = 9 0°

D A B

C

2)A1 B1与AC所成的角= 4 5°3)A1B与D1B1所成的角 = 6 0°

练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？

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D1 A 1)直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 1 B1

C1

2)与棱BB1垂直的棱有： 相交： A1B1、 AB、B1C1、BC、 异面：A1D1、AD、D1C1、 DC、 A1 相交垂直 垂直 异面垂直 AA

D B

C

D1 B1

C1

D B

C

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例 3 已知ABCD A1 B1C1 D1 是棱长为 a 的正方体 图1 2 22 .

1 正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线 ?

2 求异面直线AA1与BC所成的角; 3 求异面直线BC1和AC所成的角.A1

D1

C1 B1

D A B 图1 2 22

C

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解: 1 正方体共有12 条棱, 与BC1 相交的棱有 6 条, 与 BC1 平行的棱不存在 .因此余下的 6 条棱所在的直线 分别与BC1 是异面直线, 它们是 AA1 , A1 B1 , A1 D1 , DA, DC , DD1 .D1 C1 B1D A B 图1 2 22 C

2 因为 AD / / BC, 所以 A1 AD即为 AA1与BC所成的角. 因为 A1 AD 900 , 所以AA1与 BC所成的角为900 .

A1

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D1

C1 B1

// // 3 因为 AA1 BB1 CC1 , 所以四

A1D A

C B

边形AA1C1C是平行四边形 所以 , AC // A1C1 ,所以BC1与AC所成的 角就是BC1与A1C1所成的锐角或

直角.

图1 2 22

连结A1 B . 因为A1 B, BC1与A1C1 都是正方体 的面对角线 所以 A1 B BC1 A1C1 , 故 A1 BC1 是 ,

正三角形. 因此, BC1与A1C1 所成的角 600 , 即 BC1与 AC 所 为 成的角为600.

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D1

C1 B1

若两条异面直线a, b所成的角是 直角, 则称这两条异面直线互相 垂直 , 用符号表示为 a b.如图1 2 22中, AA1 与 BC所成 的角为900 , 就记作 AA1 BC .如图1 2 13中, 蜗 杆和 蜗 轮的 轴线是互相垂直的异面 直线, 它 表明由蜗杆到蜗 轮 的传动方向 变了900 的角.

A1D A

C B

图1 2 22

b

a图1 2 13