高二数学选修1、3-3-2函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数

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第三章

导数及其应用

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导数及其应用

1.知识与技能 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件.人 教 A 版 数 学

2.过程与方法会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在 给定区间上求最大值、最小值.

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本节重点：利用导数的知识求函数的极值. 本节难点：函数的极值与导数的关系. 利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；

其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 开区间的符号. 求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值 和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极

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小值之间无确定的大小关系.

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f′(x0)=0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，

不是充分条件.例如：函数f(x)=x3,f′(0)=0但x=0不是f(x)=x3的极值点.人 教 A 版 数 学

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1.理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的 左右两侧附近的点而言的.人 教 A 版 数 学

(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点. (3)若f(x)在[a,b]内有极值，那么f(x)在[a,b]内绝不是 单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值.

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(4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在 其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极

小值可能大于另一点的极大值.(如图(1))

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(5)若函数f(x)在[a,b]上有极值，它的极值点的分布是 有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值点之间必有一个

极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 2.导数为0的点不一定是极值点. 3.正确理解“在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 最值.”

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此性质包括两个条件：

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(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续 1 但不能保证有最大值或最小值.如 f(x)= x ,x∈(0,1),f(x) 在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图).人 教 A 版 数 学

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(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间 断点，也不能保证 f(x)有最大值和最小值，如函数 f(x)= |x|,-1≤x≤1且x≠0, 1,x=0. 人 教 A

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在[-1,1]上有间断点，没有最小值(如图).

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4.正确区分极值和最值 (1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的， 函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的

端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性. (2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个 区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中 的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点

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处取得；极值有可能成为最值.

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5.若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值，那么极 大值就是最大值，极小值就是最小值.人 教 A 版 数 学

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1.已知函数y=f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在 内的开区间内的所有点x,如果都有 f(x)≤f(x0) ,则称函人 教 A 版 数 学

数f(x)在点x0处取得 极大值 极大值点 ；如果都有点x0处取得

,并把x0称为函数f(x)的一个 f(x)≥f(x0),则称函数f(x)在

极小值 ，并把x0称为函数f(x)的一个

极小值点 .极大值与极小值统称为 极值 ，极大值点与极小值点统称为 极值点 .

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2.假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 连续不断的曲线 ，该函数在[a,b]上一定能够取得

最大值 与 最小值 ，该函数在(a,b)内是 该函数的最值必在 极值点或区间端点

可导的 ，

取得.

3.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大 (小)值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ,右侧 ，那么f(x0)是极 大 值；

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(2)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ,那么f(x0)是极

f′(x)<0 小

,右侧 值；人 教 A 版 数 学

(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0)不是 函数f(x)的极值.

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