两条直线的位置关系 夹角

两条直线的位置关系 夹角

数学之美：美丽的分形几何图形

两条直线的位置关系 夹角

两条直线的位置关系---------夹角

两条直线的位置关系 夹角

忆一忆： 忆一忆：

两直线方程 平行 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y +C1=0 l2:A2x+B2y +C2=0k1 = k2 且b1 ≠ b 2

垂直k1k2 = 1

适用范围k1 , k2 存在

A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2

A1 A2 + B1 B2 = 0

平行时 A1B1C1 ≠ 0 A 2 B2 C 2 ≠ 0

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忆一忆： 忆一忆：

平行点线、 点线、线线之间的距离8

重合 相交线线所成的角 (垂直) 垂直)

两条直线的位置关系 夹角

的角： 一、直线L1到L2的角： 直线L直线L 旋转到与L 直线 1按逆时针方向旋转到与 2重合时所转的 叫做L 的角。 角,叫做 1 到 L2的角。 叫做图中θ 的角， 的角。 图中 1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。

θ1 + θ 2 = π到角的范围： 到角的范围：注 意

θ ∈( 0,π )到角具有方向性！ 到角具有方向性！

L2 θ2 θ1 L1

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练一练： 练一练： 根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线 根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1,L2; 并标出L 的角；同时探求两角的大小。 并标出 1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的大小。 1、L1:y=x+1 、 2、L1: y=x+1 、 y θ2 L2 θ1 L2:x=1 L2: y= 3 x y L1 θ2 θ1 L1

αα 1

1

α2 1 图一 x L2

α1 0

α2 x

0

图二

两条直线的位置关系 夹角

已知两条相交直线L 已知两条相交直线 1:y=k1x+b1, L2: y =k2x+b2。求 直线 1到L2的角为 。 直线L 的角为θ。 : 。 当 k1k2= -1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。 。 当k1k2≠-1 时， -Y L2 θ α1 O图一

L1 α2 X

Y L 1 θ α2图二

L2 α1 X

O

的倾斜角分别是α 设L1,L2的倾斜角分别是 1和α2, 则k1=tanα1,k2=tanα2 由图可知θ=α2-α1 由图可知 或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1) ( (

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∴tanθ=tan(α2-α1)或tanθ=tan π+(α2-α1) ( ( =tan(α2-α1) (

tanα2 tanα1 k2 k1 ∴tanθ = = 1 + tanα2 tanα1 1 + k1k2直线L1到L2的角公式： 的角公式： 直线

k 2 k1 tan θ = 1 + k1k 2注意： 的顺序！ 注意：k1与 k2的顺序！

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的夹角： 二、直线L1与L2的夹角： 直线L当直线L 相交但不垂直时， 当直线 1与L2相交但不垂直时，在θ和π-θ中 和 - 中 有且仅有一个角是锐角， 有且仅有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两 直线的夹角，记夹角为α。 直线的夹角，记夹角为 。 的夹角公式： 直线L 直线 1与L2的夹角公式：

ta n α

=

k 2 k1 1 + k1k 200<α≤900

当直线L 直线L 的夹角是π/2。 当直线 1⊥L2时，直线 1和L2的夹角是 。 夹角的范围： 夹角的范围：

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三、应用： 应用：例1:已知直线 1:y= -2x+3,L2:y=x-3/2 :已知直线L , - 求L1到L2的角和L1、L2的夹角(用角 的角和 的夹角( 度制表示) 度制表示) 由两条直线的斜率k - , , 解：由两条直线的斜率 1=-2,k2=1,得1 ( 2 ) k 2 k1 ∴ tan θ = = = 3 1 + k1k

2 1 + 1× ( 2 )

1 ( 2 ) k 2 k1 ta n α = = = 3 1 + k1k 2 1 + 1 × ( 2 )

利用计算器或查表可得： 利用计算器或查表可得：θ≈ 108026′ α≈71034′

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变式一： 变式一： 求直线L 求直线 1:y= -2x+3到L2:x-1=0的角 到 - = 的角 变式二：求过点 (- (-2, ) 变式二：求过点P(- ,1)且与直线 l1:y= -2x+3的夹角为 的直线 的方程 的夹角为π/4的直线 的夹角为 的直线l的方程 变式三：求过点 (- (-2, ) 变式三：求过点P(- ,1)且与直线 的夹角为π/4的直线 l1:y= x-3/2的夹角为 的直线 的方程 - 的夹角为 的直线l的方程

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练一练： 练一练： 1、求下列直线L1到L2的角与 2到L1的角： 、求下列直线 的角与L 的角： ⑴L1:y=1/2· x+2;L2:y=3x+7 ; ⑵L1:x-y=5,L2:x+2y-3=0 - , -(L1到L2的角 0 的角45 L2到L1的角 的角1350 ) 的角为π- 的角为arctan3) (L1到L2的角为 -arctan3,L2到L1的角为 ， )

2、求下列两条直线的夹角： 、求下列两条直线的夹角： ⑴y=3x-1,y=-1/3 ·x+4 (900) - , - (450) ⑵x-y=5;y=4, - ; , (π/2-arctan2) ⑶y=2x+1 ; x=2

两条直线的位置关系 夹角

注意！! 注意！! 求两条直线的到角和夹角的步骤： 求两条直线的到角和夹角的步骤：1、看两直线的斜率是否都存在； 、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直 、 用公式求。 用公式求。

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例2:已知直线 1:A1x+B1y+C1=0和L2: :已知直线L 和 A2x+B2y+C2=0(B1≠0,B2≠0,A1A2+B1B2≠0)直线 ( , , ) L1到直线 2 的角是 ，求证 到直线L 的角是θ,求证:

A1 B 2 A 2 B 1 ta n α = A1 A 2 + B 1 B 2

证明：设两条直线 的斜率分别为k 证明：设两条直线L1,L2的斜率分别为 1、k2, 则 k = A1 , k = A 2 1 2 B1 B2

k 2 k1 tan θ = = 1 + k1k 2 1+ A1 B 2 A 2 B 1 = A1 A 2 + B 1 B 2

(

A2 B2

A2 B2

( ) )( )A1 B1 A1 B1

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例3:等腰三角形一腰所在直线 1的方程是 -2y :等腰三角形一腰所在直线L 的方程是x- - , -2=0,底边所在直线 2的方程是 ，底边所在直线L 的方程是x+y-1=0,点 (-2,0)在另一腰上，求这条腰所在直线L3的 (- , )在另一腰上，求这条腰所在直线 方程。(如下图) 。(如下图 方程。(如下图) L3 的斜率分别为k 解：设L1,L2,L3的斜率分别为 1 L2 Y k2、k3,L1到L2的角是 1,L2 的角是θ θ2 的角是θ 到L3的角是 2 ,则1 , k 2 = 1 1 2 ( 1) 1 = 3 k 2 k1 2 tan θ 1 = = 1 + k1k 2 1 + ( 1) 1 2 k =ta n θ2

L1 X

O θ1

=

k 2 1 + k 3k 2 k3

=

k 3 + 1 1 k 3

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因为L 因为 1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ 是等腰三角形，所

以 1=θ2 ∴tanθ2=tanθ1= -3 k 3 + 1 ∴ = 3 1 k 3 解得 k3 =2 y=2 [ x-(- )] -(-2) -(- 即2x-y+4 = 0 -

的方程是： - ∴L3的方程是：2x-y+4 = 0

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练习： 练习： 的斜率分别是方程6x 1、若直线l1,l2的斜率分别是方程 2+x-1=0 、若直线 的两根， 的两根，则l1与l2的夹角等于_______ 的夹角等于 2、B(0,6)、 (0,2), 为x轴负半轴 、 ( , )、 )、C( , ), ),A为 轴负半轴 上一点， 在何处时， BAC有最大值 有最大值？ 上一点，问A在何处时，∠BAC有最大值？ 在何处时

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小 结：

1、L1到L2的角和 1与L2的夹角的定义； 、 的角和L 的夹角的定义； 到角有序，夹角无序” “到角有序，夹角无序” 2、两条直线的到角和夹角公式推导； 、两条直线 …… 此处隐藏：2665字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……