北京市清华大学附中2015届全国高校自主招生考试数学复习讲义：第

第五讲 解析几何

例1（2011年北约）求过抛物线y 2x2 2x 1,y 5x2 2x 3两交点的直线方程。

例2（2007年北京大学）求证：对任何实数k，曲线x2 y2 2kx (2k 6)y 2k 31 0恒过两个定点。

例3（2011年卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在的直线的方程为4x y 20 0，则抛物线方程为（ ）

A．y 16x

2 B．y 8x 2C．y 16x 2 D．y 8x 2

x2y2

例4 已知椭圆2 2 1与圆x2 y2 b2，过椭圆上一点M作圆的两切线，切点分别为ab

P、Q,直线PQ与x,y轴分别交于点E、F.求S EOF最小值.

例5（2012年全国联赛）过抛物线y x2上的一点作A(1,1)抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B。点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足

上，满足AE 1，点F在线段BCECBF 2，且 1 2 1，线段CD与EF交于点P。当点C在抛物线上移动时，FC

求点P的轨迹方程。

例6（2010年五校联考）A,B,C,D在 x2 4y上，A,D关于抛物线对称轴对称。过点D作切线，BC∥切线，点D到AB，AC的距离为d1,d2,d1 d2

（1）△ABC是锐角、钝角还是直角三角形；

（2）若△ABC的面积是240，求A的坐标和BC的方程。

例7（2011年卓越联盟）已知椭圆的两个焦点为F1( 1,0),F2(1,0)，且椭圆与直线2AD．

y x 相切

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过F1作两条相互垂直的直线l1,l2与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值。

例8（2010北京大学）AB为y 1 x2上在y轴两侧的点，求过A,B的切线与x轴围成面积的最小值。

x2y2

例9（2011年华约）已知双曲线C:2 2 1(a 0,b 0),F1,F2分别为C的左、右ab

焦点。P为C右支上一点，且使 F1PF2

（Ⅰ）求双曲线的离心率； 3，又 F1PF2的面积为33a。 2

（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，总是否存在常数 ( 0)，使得 OF2A QAF2恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

2例10（2009年浙江高中联赛）已知抛物线y 2x x 1 111 和A , .过点8 48

11 F , 任作直线，交抛物线于B、C两点. 48

（1）求△ABC的重心轨迹方程，并表示成y f(x)形式；

n13k（2）若数列{xk},0 x1 ，满足xk 1 f(xk).试证： xk. 125k 1