空间向量 距离的计算

空间距离的计算

学习目标：1.能借助空间几何体内的位置关系求空间 的距离； 2.能用向量方法解决点面、线面、面面的 距离的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。

复习回顾：1.我们所学距离有哪几种？

2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.

一、求点到平面的距离如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的

一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.

Pn

则 d=| PO |= | PA | cos APO.∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.∴d=| PA ||cos PA, n |=| n|

A

O

| PA | | n | | cos PA, n |

=

| PA n | |n|

.

这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 (常选特殊点)的向量在平面的法向量上的投影的绝对值

例1、已知正方形ABCD的边长为4,GC⊥ 平面ABCD,GC=2,E、F分别是AB、AD的 z 中点，求点B到平面GEF的距离。

G

x D F A

C

E

y

B

例: 1 如图，已知正方形

ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).EF (2, 2,0), EG ( 2, 4, 2),

设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )

xF

D

C

取n (1,1, 3) ,BE (2,0,0) d | n BE| n

2 x 2 y 0 n EF, n EG 2 x 4 y 2z 0 A

E

y

B

2 11 2 11 . 点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11

求点到平面的距离的步骤： ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个 不共线向量的坐标； ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接 向量的坐标； ⑷ 代入公式求出距离.

练习1:如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.P

N D M A B C

解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )

2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2

1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 n ( 2,1, 1)∴d MA n n a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2

二、求直线与平面的距离例2、已知正方形ABCD的

边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。

G

d

| n BE| n

2 11 . 11

x DF A

C

E

y

B

练习2: 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,求AC与平 面DA1C1的距离 DA n D1 C1 d nA1 B1

DA B

C

三、求平面与平面间距离例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,

求平面A1DC1与平面AB1C的距离D1 A1 B1 C1

d C

DA n n

DA B

练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。z

d

AB n nA1

N

D1

F E

C1

M B1 D

C B

y

x

A

小结：怎样利用向量求距离？ 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。 直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。

作业：P50 A组2,3