2009高等代数复习题

高等代数重修复习

一．填空题

1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 . 2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为 。

4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 01

5.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .

6．已知3阶矩阵A的特征值为 1,1,2，则2A 2A的特征值为2 1

7.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为

8.设 1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n

则A在基 1, 2, , n下的矩阵为， A的值域为，A的核为

9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则 , ，(A ,A )= .

10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中， 1 (24312)， 2 (5031)，则 1, 2的夹角 1, 2 为。

12.设线性变换A:V V在基 1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为 。

二．单选题

1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（ ）

(A)A B也是正交矩阵 (B) kA也是正交矩阵

(C)AB也是正交矩阵 (D) PAP也是正交矩阵

2. 设 是三维向量空间R上的变换，下列 不是线性变换的是（ ）

2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1

(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)

3．设A是n阶实对称矩阵，则（ ）

(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵 (B)A的特征值的绝对值等于1

(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵 (D)A有n个不同的特征值

4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（ ） 0 1

(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 10

5．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（ ）

(A)它们合同 (B)它们的特征值都是实数 1, 2, , n

(C)它们都是正交矩阵 (D)它们的特征值都是实数 1, 2, , n，且两两不相等

1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换 在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1

则 在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（ ）

112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 121

7. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（ ）

(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交

(C)A正交相似于单位矩阵 (D)A的列向量组为标准正交向量组。

8．设A是n阶实对称矩阵，则（ ）

(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵 (B)A的特征值的绝对值等于1

(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵 (D)A有n个不同的特征值

三．判断题

1.正定矩阵的特征值一定大于0.（）

2.n维欧几里得空间V的每个子空间都有正交补，但不唯一。（）

'

3. 在n维欧几里得空间V中，内积为(,),设基 1, 2, , n的度量矩阵为A，基 1, 2, , n的度量矩阵为B，则A与B相似。（）

4.线性变换A可以在某组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有n个不同的特征向量。（）

5.线性变换在不同的基下所对应的矩阵是相似的。（）

6.线性变换将线性无关的向量组变换成线性无关的向量组。（）

7.设V1与V2分别是方程x1 x2 xn 0与x1 x2 xn的解空间，则V1 V2是直和。

8. A是复数域上线性空间V上的一个线性变换，则在V中一定存在一组基，使A在此基下的矩阵为Jordan形矩阵。（）

四．（1）证明：若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的特征多项式。

1 （2）若A y

1 200 y1 x0 与B 010 相似，计算的x,y值。 000 01

五.(1)证明：设V { V|A }是线性变换A的属于特征值 的特征空间，则V 是的A不变子空间。

(2)设 1, 2和 3, 4是分别属于特征值 1, 2的线性无关的特征向量，且 1 2，求证 1, 2, 3, 4也线性无关。

（3）设A是数域P上线性空间V上的一个线性变换，证明A的值域A(V)和核A是A不变子空间

六．设V1是由 1 10 1(O)都 10 ， 2 0121 ， 3 2101 生成的线性空间,V2是由 1 1111 , 2 1 1 3 1 ， 3 11 11 生成的线性空间.

(1)求V1 V2 (2)求V1 V2 （3）以此例验证维数公式

七．在R中设向量组： 1 (0401 1), 2 (1001)， 3 (010 1)， 4 (12 21), 5 (2 130)

(1)求由 1, 2, 3, 4, 5生成的线性子空间的基和维数。

(2)求向量 (2

34 42)在此基下的坐标。 八．给定P的两组基， 1 (101), 2 (210), 3 (111),

1 (12 1), 2 (22 1), 3 (2 1 1),

定义线性变换A: A i i,i 1,2,3

(1)写出由基 1, 2, 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵；

(2)写出A在基 1, 2, 3下的矩阵

(3)写出A在基 1, 2, 3下的矩阵

122 九．已知线性变换A所对应的矩阵为A 212， 221

(1) 求线性变换A的所有的特征值和特征向量；

(2)试求一个正交矩阵Q使得Q'AQ为对角矩阵。

2222十．已知实二次型f x1， x2 2x1x2 x3 2x3x4 x4

(1)写出实二次型所对应的矩阵A；

(2)求矩阵A的所有的特征值和特征向量；

(3)试求一个正交线性变化将二次型f化成标准型 。