上海交通大学2011-1末 高数试卷(b类)

2011级第一学期《高等数学》期末考试试卷(高数B类)

一、选择题（每小题3分，共15分）

1. 设a 0且a 1，则方程ax x2 2x 1 2a的解的个数为 ( )

(A)0； (B)1； (C)2； (D)3。

2. 已知在 , 连续的函数f x 满足f x x 1 f t dt，则当n 2时，0x

f n 0 ( )

(A) 3； (B) 2； (C) 1 ； (D)0。

x 3. 已知 f dx sin(x2) C，则f(x)等于 ( ) 2

(A)2xcos(x2)； (B)4xcos(x2)； (C)2xcos(4x2)； (D)4xcos(4x2)。

4. 若f x x 1 x，则f x 的极值点的个数为 ( )

(A) 2； (B)3； (C)0； (D)1。

5. 设F (x) f(x),x [a,b], 则下列结论正确的是 ( )

(A) f(x)dx F(b) F(a)； (B)F(x) f(t)dx C ( x [a,b])；aabx

(C) f(x)dx F(x) C； (D) F(x)dx f(x) C。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 若常数p 0，则limnp

(n 1)p 1n np 1 ________________。

7. 函数y sinx cosx（0 x

8. 若 2）的值域是_______________。 x 01 x3 a0 a1x a2x2 R x ，其中a0，a1和a2是常数，limR x 0，x2

则a2 _____________。

9. 若函数y y x 由方程sin xy ln y x x所决定，则y' 0 _________。

10. 设f x 在 a,b 连续且恒正，令F(x) f(t)dt axbx1dt, 则F(x)在[a,b]f(t)

上有_________个零点。

三、计算下列各题（每小题8分，共32分）

11. 计算不定积分

12. 计算不定积分 3dx。 2x 1x 12x 1 2xedx。 2x

xsinx13. 计算定积分 。 01 sin2x

14.

计算定积分 x。 01

四、（本题8分）

e2x

15. 设可导函数f x 满足f' x f x ，且f 0 1 ln2，试利用变换x1 e

y(x) e xf x 求解f x 。

五、应用题（本题10分）

16. 已知y f(x) eax（a 0），过点A a,0 作与y轴平行的直线交函数y f(x)

于P，过P作y f(x)的切线交x轴于B，求 APB面积的最小值。

六、（本题12分）

2 x 1 17. 全面讨论函数y 的性态，并作出其简图。 2x 1

2x2 2x2 y' ,y'' 23 2x 12x 1

七、证明题（本题8分）

18. 证明：（1）对于定义在 0，1 上的任意一个满足 f x dx 1的非负连续函数 01

f x ，都有 f01x dx 2；

11 上的非负连续函数f x ，使（2）若常数c 2，则存在一个定义在 0，得 f x dx 1且 f001x dx c。