(几何证明)图形的旋转

利用旋转解决几何问题

图 形 的 旋 转

利用旋转解决几何问题

基本知识回顾请仔细观察此图, 点A,线段AB,∠ABC分 别转到了什么位置？B A C

B´

A´

对应点 对应线段对应角

点A 线段AB ∠ABC

点A´

O

C´

线段A´ B´ ∠ A´B´C´

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如图等腰△ABC,∠BAC=40o,D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ 点A 40o

(3)如图M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ AC的中点(4)AD与AE的关系如何？ (5)∠DAE是多少度？ AD=AE 40oA

M E B D C

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2. 如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转， 使得B、O两点的对应点分别为C、D,则旋转角为_____________, 60o 图中除△ABC外，还有等边三形是_____________. △ADO

因为B点对应C点 O点对应D点 所以△ADC是△ABO绕A点旋转得到的。

旋转角∠ BAC=∠ OAD=60o对应边AB=AC、AO=AD、 BO=DC

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方法探讨

已知，点P是正方形ABCD内的一点， 连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时 针旋转90°到△P′CB的位置(如图) 若PA=2,PB=4,∠APB=135° (1)求PP`及∠PP`C (2)求PC的长.PP ` 4 2

解析：连接PP′,根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B, ∴BP=BP′=4,P′C=PA=2,∠PBP′=90°, ∴△PBP‘是等腰直角三角形，P’P2=PB2+P‘B2=32; 又∵∠BP′C=∠BPA=135°, ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°,即△PP′C是直角三角形. 故PC=6

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(3)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的 过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；

3

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能力提升1. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ,∠A=40° ,以直角顶点 C 为旋转中心， 将△ABC 旋转到△A′B′C 的位置， 其中 A′、B′分别是 A、B 的对应点， 且点 B 在斜边 A′B′上，直角边 CA′交 AB 于 D,则旋转角等于( ) A.70° B.80° C.60° D.50°

2.如图 2,△ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转 60°,得△AB′C′, 则△ABB′是 三角形.图2

3. 如图 3,四边形 ABCD 中， ∠BAD=∠C=90º, AB=AD, AE⊥BC 于 E, 若线段 AE=5, 则 S 四边形 ABCD= 。

A D

B

E

C

图3

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4 如图 3,O 是等边三角形 ABC 内一点，已知：∠AOB=115°,∠BOC=125°, 则以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是 A 多少？

O B C图3

分析：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。 提示：△BOM是等边三角形

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5,正方形 ABCD 的边长为 1,AB、AD 上各存一点 P、Q,若△ APQ 的周长为 2,求∠PCQ 的度数。D C

Q A P B

图6

把△CDQ绕点C旋转90°到△CBF的位置，CQ=CF。

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能力拓展

A

1.如图 1 所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个 点，PA=2,PB= 23

,PC=4,求△ABC 的边长。P

B

C

分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，

为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。 提示1:△BPH是等边三角形 提示2:△HCP是Rt△ 提示3:∠HPC=30° ?! 提示4: △BCP是Rt△

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课后小结： 旋转的思想：旋转是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将 一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决， 它是一种要的解题方法。