2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、

导数及其应用 2.9 函数与方程课时规范训练 文 北师大版

[A 级 基础演练]

1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝cos x

B ．y ＝sin x

C ．y ＝ln x

D ．y ＝x 2

＋1 解析：由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D ，故选A. 答案：A

2．(2016·北京海淀模拟)函数f (x )＝log 2x －1x

的零点所在区间为( ) A.? ??

??0，12 B.? ????12，1 C ．(1,2)

D ．(2,3)

解析：∵f ? ????12＝log 212－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－1＝－1＜0，f (2)＝log 22－12＝12＞0，

∴函数f (x )＝log 2x －1x

的零点所在区间为(1,2)， 故应选C.

答案：C

3．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2

－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )

A.{}1，3

B.{}－3，－1，1，3

C.{}2－7，1，3

D.{}－2－7，1，3 解析：方法一：求出当x <0时f (x )的解析式，分类讨论解方程即可．

令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{}－2－7，1，3.

方法二：令g (x )＝0，即f (x )－x ＋3＝0，∴f (x )＝x －3，

作y ＝f (x )与y ＝x －3图像，有3个交点．

2

y 轴右侧有2个交点，其零点为1或3.

y 轴左侧零点x <－3.故选D.

答案：D

4．函数f (x )＝????? x 2－2|x |＋12，x ≤0|lg x |－1，x >0的零点个数为________．

解析：作出函数f (x )的图像，从图像中可知函数f (x )的零点有4个．

答案：4

5．已知函数f (x )＝????? x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么

函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为__________．

解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，

∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12

. ∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32

x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12

，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．

答案：2

6．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝|x 2

＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．

解析：设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，

在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图像如图所示．

3

由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，

所以?

???? y ＝－x 2－3x ，y ＝a －x 有两组不同解． 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，

所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，

解得a <1或a >9.

又由图像得a >0，∴0<a <1或a >9.

答案：(0,1)∪(9，＋∞)

7．(2016·岳阳模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．

解：∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，

即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．

设2x ＝t (t ＞0)，则t 2

＋mt ＋1＝0.

当Δ＝0时，即m 2－4＝0，

∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，

∴2x ＝1，x ＝0符合题意．

当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，

即f (x )有两个零点或没有零点．

∴这种情况不符合题意．

综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.

8．关于x 的二次方程x 2

＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，

①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，

又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32

. ②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则

4 ????? Δ>0，0<－m －12<2，f ，

∴????? m －2－4>0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0. ∴????? m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32

≤m <－1. 由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)．

[B 级 能力突破]

1．(2015·高考福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．

解析：不妨设a >b ，由题意得????? a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，

则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，

∴????? ab ＝－2，a －2＝2b ，∴????? a ＝4，b ＝1.即p ＝5，q ＝4，

∴p ＋q ＝9.

答案：9

2．(2016·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x )＝????? 1，x ＞00，x ＝0

－1，x ＜0

，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x )＝1，f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝1－

ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e

，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0，f (x )＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x )＝－1，f (x )＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2

x ＝－1，此时无解．因此，函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为2.

答案：B

5 3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝????? 3x －1， x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a

的取值范围是( )

A.????

??23，1 B ．[0,1] C.????

??23，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.

当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23

≤a ＜1. 当a ≥1时，有2a

≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.

综上，a ≥23

，故选C. 答案：C.

4．(2016·南昌一模)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．

解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．

∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，

∴当x …… 此处隐藏：3131字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……