1986年全国高考数学文科

1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

1986年全国高考数学（文科 ）试题及其解析

一、（本题满分30分）本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ ）

isin) （B）2(cos isin) 4444

（C）2(sin icos) （D） 2(sin icos) 4444 （A）2(cos

（2）函数y 5 1的反函数是 （ ）

（A）y log5(x 1) （B）y logx5 1

（C）y log5(x 1) （D）y log(x 1)5

（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合 {2，7，8}是 （ ）

（A）A∪B （B）A∩B （C）∪ （D）∩

（4）函数y

（A）周期为x2sin2xcos2x是 （ ） 的奇函数 （B）周期为的偶函数 22

（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数 44

（5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是 （ ）

（A)c 2 (B)c () (C)2 () (D)2 ()

（6）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是 （ ）

（A）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899

（7）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是( B )

2 （A）22a （B）2a （C）23a （D）32a c12cc12cc12c222

（8）如果方程x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ）

（A）D=E （B）D=F （C）E=F （D）D=E=F

（9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（ ）

（A）充分条件 （B）必要条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件

2222

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（10）在下列各图中，y=ax+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是 （ ）

2

二．（本题满分24分）只要求直接写出结果.

(x（1）求方程252 x 0.5) （2）已知 1 i,求 2 12

（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及 （0，3x2n2 n 7（4）求lim. 2n 5n 4

（5）求(2x 315)x2

x2y2（6）求椭圆 1有公共焦点，且离心率为294

三．（本题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同

于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面

四．（本题满分10分）

求满足方程|Z 3 i|

的辐角主值最小的复数Z .

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五．（本题满分12分）

2已知抛物线y=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，

点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，

求点P

六．（本题满分10分）

甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2

七．（本题满分12分）

已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.

求证：（1）当b≠时，tg3A=

2a. b22(2)(1 2cos2A) a b.

八．（本题满分12分）

已知数列{an},其中a1 413,a2 ,且当n≥3时， 39

1an an 1 (an 1 an 2). 3

（1）求数列{an}（2）求liman. n

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参考答案及其解析

一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)B;

(6)B; (2)C; (7)B; (3)D; (8)A; (4)A; (9)D; (5)C; (10)D.

二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果

.

x22(4) (5) 40 (6) y2 1. 45

三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.

证：设圆O所在平面为α，由已知条件，PA⊥平面α，又BC在平面α内，因此PA⊥BCA是直角，因此BC⊥AC而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△PAC四、解：满足方程|Z 3 i| 的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为 3 i，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求∵ 3 i 23(cos150 isin150 ),

设点B对应的复数为1，∴∠BOA=150，|OA|=23，∠QOA=180-∠00

BOA=30

∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，

00∴∠AOP=∠QOA=30，∠QOP=2∠QOA=60，

∠BOP=180-∠QOP=120，|OP|=|OA|cos∠AOP=23 0003 3. 2

∴所求的复数Z=3(cos120 isin120 ) 3(

133 i) 3i. 2222

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五、解：设点B的坐标（X,Y)，点P的坐标为（x,y)，则

11 3Y 12X 32Y 1x ,y 11331 1 22

31 X (x 1),(1)Y (3y 1),(2)22

点P在抛物线上, Y2 X 1,X

将(1),(2)代入此方程,得

3 1 (3y 1) (x 1) 1 2 2

化简得3y2 2y 2x 1 0,

即x 321y y ,22 2

六、本题考查排列组合等知识与分析问题的能力. 略解：共有：C8 C5 C4 C2 1680（种）

（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8分）

七、证：由已知sinA+sin3A+sin5A=a,利用和差化积公式得

2sin3Acos2A+sin3A=a,∴sin3A(1+2cos2A)=a,① 又由已知cosA+cos3A+cos5A=b，利用和差化积公式得 2cos3Acos2A+cos3A=b, ∴cos3A(1+2cos2A)=b,② 当b≠时，①÷②得

223122sin3Aaa ,从而证得tg3A=. cos3Abb又①+②得

222222sin3A(1+2cos2A)+cos3A(1+2cos2A)=a+b,

22222∴(1+2cos2A)(sin3A+ cos3A)=a+b,

∴(1 2cos2A) a b.

222

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八、解：（1）设an an 1 xn 1,则由已知条件得xn 1 公比为1xn 2,所以数列{an}组成了一个311的等比数列，其首项x1 a2 a1 , 39

11xn 1 x1()n 2 ()n,(n 2,3,4 )33

1即an an 1 ()n.3

an a1 (a2 a1) (a3 a2) (an an 1)

1 1 ()2 1 ()n 1 1113 3 1 1 (1)n 1 , ()2 ()3 ()n 13336 3 1 3

an a1 1 1n 1 311n1 () (). 6 3 223

1133 311 3(2)liman lim ()n lim()n 0 .n n 223 2n 2322