小学四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算

小学四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算

四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题1】 有一个数列：4，10，16，22. ，52.这个数列共有多少项？

【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

【练习1】

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：2.5，8，11. ，101.这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11.16，21.26， ，1001.这个等差数列共有多少项？

【例题2】有一等差数列：3.7，11.15， ，这个等差数列的第100项是多少？

【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.

【练习2】

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

2.求1.4，7，10 这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14 的第100项。

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【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4， ，99，100。请求出这个数列所有项的和。

【思路】如果我们把1.2.3.4， ，99，100与列100，99， ，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+ +（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+ +99+100=（1+100）×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

【练习3】计算下面各题。

（1）1+2+3+ +49+50

（2）6+7+8+ +74+75

（3）100+99+98+ +61+60

【例题4】求等差数列2，4，6， ，48，50的和。

【思路】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25

首项=2.末项=50，项数=25

等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.

【练习4】计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22

（2）5+10+15+20+ +195+200

（3）9+18+27+36+ +261+270

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【例题5】计算（2+4+6+ +100）－（1+3+5+ +99）

【思路】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+ +100）－（1+3+5+ +99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+ +（100－99）

=1+1+1+ +1

=50

【练习5】用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）

（2）（2+4+6+ +2000）－（1+3+5+ +1999）

（3）（1+3+5+ +1999）－（2+4+6+ +1998）