双曲线与直线的位置关系

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

江门市新会第一中学

洪伟荣

复习与提高关于双曲线渐近线的进一步探讨:共渐近线的双曲线系 关于双曲线渐近线的进一步探讨 共渐近线的双曲线系

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

问题一： 问题一：课本引入双曲线的渐近线概念有何用意 渐近线本身有何特点？ 呢？渐近线本身有何特点？

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

问题二：如何由双曲线方程写出其渐近线方程呢？ 问题二：如何由双曲线方程写出其渐近线方程呢？

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

问题三：如何由已知渐近线方程写出对应的双曲线 问题三： 方程呢？ 方程呢？

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

由我们解过的题可知： 1、渐近线方程确定且过一个定点的双曲线方程只 有一解，而渐近线方程确定且已知a(实半轴长)、 b(虚半轴长)、c(半焦距)三者之一的双曲线方 程则有两解； 2、使用共渐近线的双曲线系思想来解已知渐近线 2 求双曲线方程的题型，可使思路清晰，讨论目的明 确。

思考1:双曲线与直线有什么样的位置关系？ 思考 ：双曲线与直线有什么样的位置关系？1.直线与双曲线相交： 直线与双曲线相交： 直线与双曲线相交 (1)有两个交点 ) (2)有一个交点(直线与渐近线平行) )有一个交点(直线与渐近线平行) 2.直线与双曲线相切： 直线与双曲线相切： 直线与双曲线相切 只有一个交点 注意： 注意：只有一个交点直线与双曲线相切的必要条件 但不是充分条件。 但不是充分条件。 3.直线与双曲线相离： 直线与双曲线相离： 直线与双曲线相离 没有交点。 没有交点。

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

思考2:怎样判断双曲线与直线有什么样的位置关系？ 思考 ：怎样判断双曲线与直线有什么样的位置关系？由直线的方程与双曲线的方程组成的方程组得到一个 x(或y)的一元二次方程，然后通过一元二次方程的 ( )的一元二次方程， 判别式进行判断。 判别式进行判断。

当 > 0时，双曲线与直线相交；首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

当 < 0时，双曲线与直线相离； 当 =0时，双曲线与直线是相交，还是相切，如何判断？

要结合直线与渐近线的斜率的关系进行判断。

例2已知直线的方程是x y + 1 = 0, 双曲线的方程 . x2 y 2 是 = 1,试判断该直线与双曲线的位置关系。 3 3

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

思考2: 思考 ：是

否所有的双曲线与直线只有一个交点且 相交的情况下都是直线的方程与双曲线的得到的 一元二次方程二次项系数都为0? 一元二次方程二次项系数都为 ？

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

如何进行验证？ 如何进行验证？

x y x2 y2 例3.试判断直线 ± = λ λ ≠ 0),与双曲线 2 - 2 = 1, ( a b a b 的位置关系。

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

由上题可知双曲线与直线只有一个交点且相交时 由直线的方程与双曲线的得到的一元二次方程二 次项系数都为0. 次项系数都为

小结： 小结：直线与双曲线的位置关系的判断由直线的方程与双曲线的方程得到一个x( ) 由直线的方程与双曲线的方程得到一个 (或y)的 一元二次方程。 一元二次方程。

如果二元一次方程的二次项系数是0,首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

则双曲线与直线相交； 当 > 0时，双曲线与直线相交； 当 < 0时，双曲线与直线相离； 当 =0时，双曲线与直线相切 (其中 为二元一次方程的判别式)。