奥本海姆《信号与系统(第二版)》习题参考答案

1

第一章作业解答

1.9

解：（b）x2(t) e (1 j)t e te jt

由于x2(t T) e (1 j)(t T) e (1 j)te (1 j)T x2(t)，故不是周期信号；

（或者：由于该函数的包络随t增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c）x3[n] ej7 n 则 0 7 1.12

解：x[n] 1 [n 1 k]

k 3

2

0

2

是有理数，故其周期为N=2； 7

(1 k) m

1 [n m] 1 u[n 4]

m 4

1

…

-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n

u[n-4]

减去：

-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n

等于：

…

-3 –2 –1 0 1 2 3

4 5 6 n

故：u[ n 3]即：M=-1，n0=-3。

1.14

解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：

1

1

……

而：g(t)如图(c)所示

……dx(t)

dt

如图（d）所示：故：

dx(t)

dt

3g(t) 3g(t 1) 则：A1 3,A2 3；t1 0,t2

1 1.15

解：该系统如下图所示： [n]

2

2

1

y[n] y2[n] x2[n 2]

（1）

1

x2[n 3]2

1

{2x1[n 2] 4x1[n 3]} {2x1[n 3] 4x1[n 4]}

2

2x1[n 2] 5x1[n 3] 2x1[n 4]

即：y[n] 2x[n 2] 5x[n 3] 2x[n 4]

（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。 1.17

解：（a）因果性：y(t) x(sint)

举一反例：当t 时sint 0,则y( ) x(0)输出与以后的输入有关，不是因果的；

（b）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。

1.20

解：（a）x1(t) cos(2t)

1j2t

(e e j2t) 2

11

则：y1(t) T{(ej2t e j2t)} (ej3t e j3t)；

22

1111

(b) x2(t) cos(2(t )) (ej(2t 1) e j(2t 1)) e j1ej2t ej1e j2t

2222

j3(t )1 j1j3t1j1 j3t1j3(t 3)13

则：y2(t) ee ee (e e) cos3(t )

2223

1

1

（注意：此系统不是时不变系统。） 1.21

(b)x(2-t)

3

1

（c）x(2t+1)

(d)x(4-t/2)

4

1

1.22

x[n+3]

1

1

1

1 (b)x[3-n]

x[-n+3]

解：

x[3n+1]

5

1

x[n+1]

1

1

1

1

（注意：离散信号压缩后，只取整数点的值，压缩后会损失信息） (e) x[n]u[3-n]=x[n]

x[n]u[3-n]

1

1

1

1

则：xe(t)

11

[x(t) x( t)] ，xo(t) [x(t) x( t)]分别如下图所示： 22

6

1

（注意：在对信号做奇偶分解时，尽量用图形的方式直观；而表达式烦琐，且容易出错）

1.25

解：(a)x(t) 3cos(4t

3

) 是周期信号， 0 4 T

2

0

2

1.26

解：（a）x[n] sin(

6 6

n 1) 0 77

则：

2

0

7

为有理数，故该信号是周期的，其周期N=7； 3

18

1 8

（b）x[n] cos(n ) 0

则：

2

0

16 为无理数，故该信号不是周期的；

1.27

先证明几个基本的系统：时移系统、反折系统、尺度系统的线性、时不变、因果、稳定性； 一：时移系统：y(t) x(t t1)

(1) 线性：

y1(t) x1(t t1)y2(t) x2(t t1)

令：

x3(t) x1(t) x2(t) y3(t) x3(t t1) x1(t 1) x2(t 1) y1(t) y2(t)满足可加性

x4(t) kx1(t) y4(t) x4(t t1) kx1(t t1) ky1(t)满足齐次性

7

1

故：时移系统是线性系统； (2) 时不变性：y1(t) x1(t t1)

令：x2(t) x1(t t0) y2(t) x2(t t1) x1(t t0 t1)

而：y1(t t0) x1(t t1 t0)

y1(t t0) y2(t)

故时移系统是时不变系统。

（3）因果性：由定义可知，当t1 0，则系统是因果的；否则为非因果系统； （4）记忆性：由定义可知，时移系统是记忆系统；

（5）稳定性：由于信号进行时移后，不影响幅度，故时移系统是稳定的；

二 反折系统： 线性、时变、非因果、记忆、稳定； 三 尺度系统：线性、时变、非因果、记忆、稳定；

(a) y(t) x(t 2) x(2 t)

解：由于该系统由时移与反折系统所组成，故性质由二者决定: 线性、时变、非因果、记忆、稳定；

（b）y(t) [cos3t]x(t)

线性(略)：是线性的

时不变性：y1(t) [cos3t]x(t)

令：x2(t) x1(t t0) y2(t) [cos3t]x2(t) [cos3t]x1(t t0) 而：y1(t t0) [cos3(t t0)]x1(t t0)

y1(t t0) y2(t)

故系统时变

(总结：若y(t)与x(t)之间的关系除了x(t)的形式外，还包括有关于t的函数，则该系统是时变系统)

因果性：输出仅与x(t)的当前值有关，故系统因果；

(注意，因果性的定义：仅与当前值或以前值有关【二者只要满足一个就是】)

记忆性：输出仅与x(t)的当前值有关，故为非记忆系统；

稳定性：由于cos3t是有界的函数，则x(t)有界，y(t)有界，故系统稳定；

（c）y(t) x( )d

解：线性：该系统是线性的（参考1小题证明）；

时不变性：

2t

2t

y1(t) x1( )d

8

1

令：x2(t) x1(t t0)

y2t

2t2(t)

x2( )d

x1( t0)d

则：

令 t2t t0

2t t0

0 '

x1( ')d '

x1( )d

y2(t t0)2t 2t0而：

1(t t0)

x1( )d

x1( )d

y1(t t0) y2(t)

故系统时变

（注意，若这里的积分上限是t，不是2t，则系统是时不变的）其他为：记忆、非因果，不稳定； （d）该式改写为：

y(t) [x(t) x(t 2)]u(t)

线性：系统是线性、时变、因果、记忆、稳定的； 1.31

解：(a)

x2(t x1(t) x1(t 2)

由于该系统是LTI系统，则y2(t y1(t) y1(t 2)

（b）x3(t

x1(t 1) x1(t 1)

由于该系统是LTI系统，则

y3(t) y1(t 1) y1(t 1)

t

t

9