2008—2009第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(B卷)

武汉大学数学与统计学院 B卷

2008—2009第一学期《高等数学B1》期末考试试题

一、 试解下列各题：（8 7 56 ）

1、 求极限： lim(cotx 2、

已知x 0

1

)

x 0x2

2

3、 试证:若f(x)是可导的周期为l的函数，则f (x)也是以l为周期的周期函数.

4，求极限limf(x)

x 0

x2 1

4、 求函数f(x) 的间断点，并判断其类型。

(x 1)x

5、已知

F(x)

sin1

， 求 F (x)

y

1

6、设函数y y(x)由方程xy e 0确定，求

dy dx

1x x

7、计算不定积分 (1 x )edx

x

e

8、计算定积分 lnxdx

1

二、（10分）设直线L1和L2的方程为：L1:

1）证明L1与L2是异面直线；

x 1y 1zx 1y 3z 4

L2: 12 12 1 2

2）求平面 使L1和L2到 的距离相等； 3）求与L1和L2都垂直相交的直线L。

xsinx bx 0

三、（8分）设函数f(x) ,问a、b为何值时，f(x)在x 0处可导. ax

ex 0

ex e x

四、（10分）曲线y 与直线x 0，x t（t 0）及y 0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴

2

旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x t处的底面积为F(t)。

（1）求

S(t)S(t)

的值；（2）计算极限lim

t F(t)V(t)

x4

x3求： 五、（10分）设y f(x) 4

1）函数f(x)的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2）曲线y f(x)的凸性区间、拐点。

六、（6分）设f(x)为可微函数，试证：在任意两个零点之间必有点x使f (x) f(x)。

武汉大学2008—2009第一学期 B卷

《高等数学B1》试题参考答案(180学时用)

一、试解下列各题：（8 7 56 ）

1x2cos2x sin2xxcosx sinx xsinx22

2lim 2lim 1、解： lim(cotx 2) lim 2232x 0x 0x 0x 03xxsinxx3x11f(x)ln(1 2x)f(x)2x12、解

: 4 lim lim limf(x) x 0x 0x 02x2x2x 0 故limf(x) 8

x 0

3、解: 设x是定义域中任意一点,由导数定义有:f (x l) lim

x 0

f(x l x) f(x l)

x

f(x x) f(x)

f (x) 即f (x)也是以l为周期的周期函数.

x 0 x

4、解：由初等函数在其定义区间上连续知f(x)的间断点为x 0,x 1.

x 1x 1

2而f(x)在x 1处无定义， 因limf(x) lim故x 1为其可去间断点.又f(x) lim

x 0x 1x 1xx

x 0为f(x)的无穷间断点.综上得x 1为f(x)的可去间断点, x 0为f(x)的无穷间断点.

lim

5、解： F (x)= sinx cosx

y2

6、解：等式两端对x求导得y xy y e 0 整理得y y

e x

11111

x x x x 1x x1

7、解： (1 x edx exdx x(1 2)exdx exdx xdex

xx

y

8、解：

e

e

e1

x

1

x

dx xe

x

1x

e

x

1x

dx xe

x

1x

c

1

e

lnxdx xlnx|e1 dx e x|1 1

二、（10分）解：1）由题意知M1(1, 1,0) L1

M2( 1,3,4) L2，L1与L2的方向向量为：

244

2 1 10 0故两直线异面。 s1 {1,2, 1},s2 {2, 1, 2}由于[M1M2,s1,s2] 1

2 1 2

2）已知平面必须过线段M1M2的中点M0(0,1,2)其法向量n同时垂直于s1,s2所以可取

ijk

n s1 s2 12 1 5{1,0,1} 故所求方程为：x z 2

2 1 2

3）因L的方向向量s s1 s2 5{1,0,1} 所以过L与L1的平面 1的法向量为：n1 s s1 10{1, 1, 1}

所以过L与L2的平面 2的法向量为：n2 s s2 5{1,4, 1}

故平面 1的方程为：x y z 2 故平面 2的方程为：x 4y z 7

x y z 2

所以直线L的方程为：L:

x 4y z 7

三、（8分） 解：要f(x)在x 0处连续，函数在某点处连续的充要条件是limf(x) limf(x) f(0)成

f(x) lim(xsinx b) b，limf(x) lime立。因为lim

x 0

x 0

x 0

ax

x 0

x 0x 0

1，于是有b 1 f(0)，

即b 1时函数在x 0处连续。

由f (0) lim

f(x) f(0)xsinx 1 1

lim 0

x 0x 0xxf(x) f(0)eax 1

f (0) lim alimlim a a 0故a 0,b 1时,函数f(x)在x 0处可导.

x 0 x 0x 0xax

四、（10分）解 （1

）S(t)

t

t

2

2

x x

t e e ex e x S(t)

2 dx 所以 2。 0022V(t)

2x t

（2）F(t) y

e e

2

t

2

t t

2

ex e x

2 dx02S(t) lim lim

t F(t)t t t2

e e

2

et e t 2

2 et e t 1 limt lim t tt tt t te ee e e e

2

22

五、（10分）解 函数的定义域为( , ).y x3 3x2 x2(x 3)，令 y 0,驻点 x1 0,x2 3

列表

2

故单调减区间为( ,3)，单调增区间为(3, )，极小值 y(3)

27

y x 3 9 0,得y(3) 是44

2

极小值。y 3x 6x 3x(x 2) 令y 0得x 0,2，拐点：（0，0）（2，-7）上凸区间：（0，2）下

凸区间：（ ，0）（2， ）

六、（6分）证 x1,x2为f(x)的两个零点，设g(x) e

f(x),由条件g(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，g(x1) e x1f(x1) 0 e x2f(x2) g(x2)，则存在 (x1,x2)使得g ( ) 0，即

x

[ef(x)] |x ef( ) ef ( ) 0，从而 f( ) f ( )

x