2010南京大学数学分析解答

本文给出2010年南京大学研究生入学考试数学分析的解答

1

2010cH® ÆêÆ©Û

9Â¥

5:ù ´ê¼‰ §ÿÁeNo^§Ó ê¼B é°Ð Áò‰‰ , J §Òé H® Æ 5‰ .

. a1,a√

1=n+1=n¦{an} 4 .)‰.w,a(x)=√

n≥1,¤±¼êf(x≥1)÷v

f (x)=11

2<

2¤±¦´Ø N . âØ N n {an}Âñ…N´¦ 1+√nlim→∞a=n2

. .(½a,b ¦

1+1 n

a n=e+n+b1n2+On

3.)‰.|^Taylorúª

1+1

n=enln(1+1n

)=e·e 1

1

+3n+O(1

n)

e1 2=111 1

2n+3n2+ 2n+O

n3

=e e11 2n+

24n2e+O1

n3

¤±a= 1e,b=11

e

.

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2

n.O È©

I=

x2

dx.sinx

)‰.

π

2I= xcotx 0+2=2xlnsinx|0 2=πln2

.

π

xcotxdxlnsinxdx

o.O 1 .-¡È©

yzx

I=dydz+dzdx+dxdy.

r3r3r3

Σ

Ù¥Σ:|x|+|y|+|z|=1…r=x2+y2+z2, .)‰.3Σ ¹ NÈ¥ K ¹3§p¡ ¥

V:x2+y2+z2≤ε2

SL«¥ L¡,3Σ+S(ùp ¥¡ Sý)dGaussúª

xyz x y zdydz+3dzdx+3dxdy=++dxdydz=0r3rr xr3 yr3 zr3

Σ+S

V

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3

¤±

I=

xyzdydz+dzdx+dxdyr3r3r3

S ý

1

xdydz+ydzdx+zdxdy=3

εS 3=3dxdydzε

V

=4

π.

Ê. ‘?êanÂñ,y²?ê

√

n

nn+12n 1

Âñ.

)‰.òanUìÏ‘4~-ü ?êP‰bn, â ‘?ê-ü 5

bnÂñ.@o

∞ √

n

n2n 1

∞ n

≤b1b2···bn

n=1

n=1

|^CarlemanØ

ª1 þ¡ ?êÂñ,â' O{ K8¥ ?êÂñ.

1

CarlemanØ ª

an ‘?ê,K

∞ √nn=1

12n≤e

∞ n=1

an.

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4

5XJ؉^ù Ø ª,@Òrù Ø ªí e´ ± . ´ù K8¿ØI ùo°[ O, — O eÒ1 .Ï

n+1b1+2b2+···+nbnn

b1b2···bn≤·n

n(n+1)b1+2b2+···+nbn

≤M·

n(n+1)

, ¡5¿?ê

∞ b1+2b2+···+nbnn=1

n(n+1)

=

∞ n=1

bn

= `²¯K.(þª y²´ ‘ SK§|^ügAbelC Ò1 )

8. f∈C[0,π]…3x=0? ,y² π

1π

limf(x)+cosx+···+cosnxdx=f(0).n→∞022

)‰.5¿ y ªf ± ¤

π

1

+cosx+···+cosnxdx=0lim(f(x) f(0))

n→∞02 þªq ±z

1

2

0π

f(x) f(0)1

sinn+xdx

sin2(1)

duf3x=0? ,Ïd4

lim+

f(x) f(0)

sinx→0

3,¤±(1)´ ~ ½È©,dRiemann-LebesgueÚn Ñ(ؤá

.

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5

Ô.N f:Rn→R ëY …Hesse(f)≥In.y² f:Rn→Rn _…_N 1w.

)‰.Pg: f,Äk5y² f´ü .? ØÓ ü:a,b∈Rn, Ä ¼ê

h(t)=(b a)T[g(a+t(b a)) g(a)],(t∈[0,1])

dLagrange¥ ½n 3ξ∈(0,1)¦

h(1) h(0)=(b a)TJg(a+ξ(b a))(b a)

≥|b a|2

|b a|2≤(b a)(g(b) g(a))

≤|b a|·|g(b) g(a)|

|g(b) g(a)|≥|b a|>0

(1)ª¤á´dug JacobianT Hesse(f)≥In.¤±g´ü .¤±g _, …5¿g3z :? Jacobian

detJg(x)=0.

¤± â_N ½n g 1ëY ,=g 11w

.

l. f∈C[a,b],=3 ê8 … ê K,y²

f(a)≤f(b).

(1)

)‰.XJf(a)>f(b),k Ä êÑ u" ¹.é?¿ y∈[f(b),f(a)], Ä

Sy={x:f(x)=y}

w,¦´ k. 8Ü,¤± 3þ(.supSy∈[a,b]., XJy1=y2,df ëY5 supSy1=supSy2.¤±8Ü

S={supSy:y∈[f(b),f(a)]} [a,b]

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Äê– ´f 1[f(b),f(a)] Äê,dëY5w,f 1[f(b),f(a)]´ «m,´Ø ê .¤± 3, y0=

b2¦ f3supSy0? . w,

f(x) f(supSy0)

≤0+x supSy0x→(supSy0)

lim

ê u"gñ!¤±b ؤá.

,XJ ê ± ",‰ 6Äg(x)=f(x)+tx(t>0)2-t→0+Ò1 .

Ê. f(x)3[a,b]3 …f(a)=f(b)=0.y² 3ξ∈(a,b)¦

b

f (ξ)

f(x)dx=(a b)3.

12a

)‰.MM,ù K8· cþD @ © 1 KÒ´ù .

@pÌ ^ Darboux½n,^O { ±, ±^y²È©Ø ª²~^ –½Xê{5‰.ü { E ¼ê Øõ,ØL Ï(Ø .Ï

b

a

f(x)dx=

a

b

f(x)d(x+m)

b

f (x)(x+m)dxa

b b2 (x+m)+n 12 = f(x) +(x+m)+nf(x)dx

22aa

bb (x+m)2+n f(ξ)2

= f(x) +(x+m)+ndx 22aa=

' eÚ y ªf,· À · m,n¦

(b+m)2+n=(a+m)2+n=0

2

Ï SØ ê,¤± 3 Ø ê 8 …… 此处隐藏：474字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……