立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例)

立 体 几 何习题课

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。

S

E AF B

提示：设三棱锥S-ABC,侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ,SA SB。取SA中 点E,AB中点F,连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。

(KEY: 3 ) 注意：分割法求体积。

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 (解法2) S法二：取AB中点D,连接SD,CD。易得△ABC 为等腰直角三角形， ACB=90o。则有SD⊥AB, CD⊥AB。又SA=SB=SC,∴S在底面的射影为底 面的外心，即点D,∴SD⊥平面ABC。 C ∴由VS-ABC= 1 S SD得三棱锥体积。 3 △ABC

AD B

例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。D1 A1 B1

C1

提示：利用 V D C B D =V B C D D 求解。1 1

1

1

DA B

C

KEY: 3 a3

注意：等体积法求点面距离。

例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， 15 arctan (1)BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__________ ; 5 (2)如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 45o 的角的大小为__________ 。A1 D C1 B1 C B A1 N B1 C1 M C B

A

A

注： (1)中利用面面垂直的性质找线面成角。 (2)中射影面积公式的应用：S△AB1M cosα =S△ABC.

例4、三棱锥V-ABC中，VA 底面ABC, ABC=90o, VA=a,VB=b,AC=c(c b),M是VC中点。

(1)求证：V,A,B,C四点在以M为球心的球面上；(2)求VC与AB所成的角的大小。

VM A

GE B F

C(arccos (b a )(a c )2 2 2 2

a c

2

2

)

例5、已知三棱锥P-ABC,PA=BC=5,PB=AC = 34 , PC=AB= 41 ,求三棱锥的体积。 P P A C A A`

C

B`C` B

B`

P`

提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图， 则V P-ABC=V长方体-4V P ABP 。设长方体长宽高分别为a、b、c,则有： a 2 b 2 25 a 3 2 1 2 a c 34 b 4 VP ABC 3 4 5 4 3 4 5 20 6 b 2 c 2 41 c 5 所以三棱锥P-ABC的体积为20(立方单位)。

例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC,PB=2,将此棱锥沿三 条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 (1)求证：侧棱PB⊥ AC; (2)求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。

P1 P2

m

A

B B

A D

m

m

2

D C n E n (乙)P3

C (甲)

P2

P2

(甲)

B解:(1)(略) (2)甲图中，作PD⊥AC于D,连接BD,可得 PDB 即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。 乙图中，作AE⊥CP3于E点，则AE=P1P2=4。 ∵PA=AC,即P3A=AC,∴E为CP3的中点。 设AP1=AC=AP3=m,CE=EP3=n,由CP2=CP3得： m-n=2n m=

3n ……① 又在△ACP3中有：AE CP3=AC DP3 …… ②, 而AE=4 ……③, 由①②③ 得：DP3=8/3,即PD=8/3。 ∴甲图Rt△BPD里， BD=10/3, ∴ cos PDB=4/5,为所求。

C P12

Dm

A

Am

(乙)

B2

m

D

P2

C n E n P3

课本P81第8题 如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h,放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。

V1

h V2=V1+V球

2R

R

V2

小结： 1、分割法求体积； 2、利用射影面积法求二面角； 3、补形法求体积； 4、几何体展开问题。