3-6 功能原理 机械能守恒定律

物理学第五版

3-6

功能原理

机械能守恒定律

一

质点系的动能定理 对第 i 个质点，有 ex in Wi Wi Eki Eki 0外力功 内力功

m1

ex Fi

in m i m2 Fi

对质点系，有

Wi

ex

i

Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0in i i

质点系动能定理 W

ex

W Ek Ek 0in1

i

注意

内力可以改变质点系的动能第三章 动量守恒和能量守恒

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机械能守恒定律

二

质点系的功能原理

W W Ek Ek 0ex in

W Wi W Win in in c iin c i i

in nc

非保守 力的功

W ( Epi Epi 0 ) ( Ep Ep0 )

W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )ex in nc第三章 动量守恒和能量守恒2

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3-6ex in nc

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机械能守恒定律

W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )机械能 E Ek Ep

W W E E0ex in nc

质点系的机械能的增量等于外力与 非保守内力作功之和.——质点系的功 能原理第三章 动量守恒和能量守恒

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三

机械能守恒定律当Wex

W

in nc

0 时，有 E E0

——只有保守内力作功的情况下，质点 系的机械能保持不变.

E Ek Ep

Ek Ek 0 (Ep Ep0 ) Ek Ep说明 守恒定律的意义第三章 动量守恒和能量守恒4

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机械能守恒定律

注意：系统的机械能守恒，并不意味着 每个质点的动能或势能保持不变。实际 上，质点系中单个质点的动能和势能之 间，质点间的动能、势能及其动能和势 能之间都是可以相互转化的。

第三章 动量守恒和能量守恒

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机械能守恒定律

注意：动量、能量守恒定律彼此独立

r ex F =0ex in nc

r r p = p0E E0

dW + dW = 0

第三章 动量守恒和能量守恒

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机械能守恒定律

例 1 雪橇从高50 m的山顶A点沿冰道由 静止下滑, 坡道AB长500 m.滑至点B后，又 沿水平冰道继续滑行若干米后停止在C处. 若 μ=0.050.求雪橇沿水平冰道滑行的路程.

第三章 动量守恒和能量守恒

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已知h 50 m , 0.050, s' 500m ,求 s . 解 Wf mg cos s' mgs mg(s' s)

E2 E1 mgh h s s' 500 m

Wf E2 E1 FN

h

s' FfP cos

P

P sin

第三章 动量守恒和能量守恒

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机械能守恒定律

例 2 一轻弹簧, 其一 P R 端系在铅直放置的圆环的 30 顶点P,另一端系一质量为 A o m 的小球, 小球穿过圆环并 在环上运动(μ =0).开始 球静止于点 A, 弹

簧处于自 B 然状态，其长为环半径R; 当球运动到环的底端点B时，球对环没有压 力.求弹簧的劲度系数.第三章 动量守恒和能量守恒9

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解 以弹簧、小球和 地球为一系统

P

R30

A B 只有保守内力做功

系统 EB E A

oB

A

取点B为重力势能零点

1 1 2 2 o 即 mv B kR mgR (2 sin 30 ) 2 2 2 vB 2 mg 又 kR m g m 所以 k R R第三章 动量守恒和能量守恒

Ep 0

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例3 如图，在一弯曲管中， 稳流着不 可压缩的密度为 的流体. pa = p1、Sa=A1 , pb =p2 , Sb=A2 . vb v2.求流体的 va v1 , 压强 p 和速率 v 之间的关系.

y2

yA1 a p1 v1

p2 b A2

v2

y1

o第三章 动量守恒和能量守恒

x11

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解 取如图所示坐标，在dt 时间内 a 、 b 处流体分别移动 dx1 、 dx 2 .

dWp p1 A1dx1 p2 A2dx2 A1dx1 A2dx2 dV dWp ( p1 p2 )dVy2

yA1 a p1x1x1 dx1

p2 b A2

y1

v1

v2

o

x 2 x2 dx2

x12

第三章 动量守恒和能量守恒

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dWg = - dm ?g ( y2

y1 ) = - r ?g ( y2

y1 )dV

1 2 1 2 ( p1 p2 )dV g ( y2 y1 )dV dVv2 dVv1 2 2

1 2 1 2 p1 gy1 v1 p2 gy 2 v2 =常量 2 2 y p2 b A2 y2 v2 A p1 a 1 v

y1

1

o

x1x1 dx1

x 2 x2 dx2

x

第三章 动量守恒和能量守恒

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机械能守恒定律

1 2 伯努利方程 p gy v 常量 2 若将流管放在水平面上，即 y1 y2 1 2 则有 p v 常量 2

y2

y

y1

A1 a p1

p2 b A2

v1

v2

o第三章 动量守恒和能量守恒

x14

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机械能守恒定律

1 2 p v 常量 2 1 1 2 2 即 p1 v1 p2 v2 2 2 结论 若 p1 p2 则 v1 v2

v1

v2p2第三章 动量守恒和能量守恒15

p1

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ex in pi C 一般情况碰撞 F Fi 1 完全弹性碰撞 系统内动量和机械能均守恒

2 非弹性碰撞 系统内动量守恒，机械能不守恒 3 完全非弹性碰撞 系统内动量守恒，机械能不守恒

第三章 动量守恒和能量守恒

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完全弹性碰撞

(五个小球质量全同)第三章 动量守恒和能量守恒17

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机械能守恒定律

例1 宇宙中有密度为 的尘埃， 这些 尘埃相对惯性参考系静止.有一质量为 m0 的宇宙飞船以初速v0穿 过宇宙尘埃，由于尘埃 m v 粘贴到飞船上，使飞船 的速度发生改变.

求飞 船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系. (设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体)

第三章 动量守恒和能量守恒

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解

尘埃与飞船作完全非弹性碰撞

m0 v0 mv

dm Svdt m0 v0 dv 2 v v dv S t d t 3 v0 v m0 v0 0 m0 12 v ( ) v0 2 Sv0t m0

m0 v0 m= v

m

v

第三章 动量守恒和能量守恒