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Chapter 2(9) 多元函数的极值及应用

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教学要求： 教学要求：1. 理解多元函数极值和条件极值的概念 理解多元函数极值和条件极值的概念; 2. 掌握多元函数极值存在的必要条件, 掌握多元函数极值存在的必要条件 了解二元函数极值存在的充分条件; 了解二元函数极值存在的充分条件 3. 会求二元函数的极值 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值; 会用拉格朗日乘数法求条件极值 4. 会求简单多元函数的最大值和最小值 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题. 并会解决一些简单的应用问题

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一. 多元函数的极值 二. 多元函数的最大值和最 小值

三. 条件极值与拉格朗日乘 数法

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一.多元函数的极值 多元函数的极值1.二元函数极值的定义 二元函数极值的定义

设z = f ( x , y )在U ( P0 ( x0 , y0 ), δ )内有定义 , 对于一切 异于P0的点P ( x , y ), 若都适合不等式

f ( x, y) < f ( x0, y0 ) (或f ( x, y) > f ( x0, y0 ))则称z = f ( x , y )在P0 ( x0 , y0 )有极大值 或极小值 ( x0, y0 ). f极大值与极小值统称为极值. 极大值与极小值统称为极值 P0 ( x0 , y0 )为极值点. 若引进点函数, 若引进点函数 则 当f ( P ) < f ( P0 )时, f ( P0 )为极大值;当f ( P ) > f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值 .

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函数 z = 3 x 2 + 4 y 2 处有极小值. 在 ( 0,0) 处有极小值.(1)

函数 z = x + y2

2

(2)

在 (0,0) 处有极大值. 处有极大值.

函数 z = xy 处无极值. 在 (0,0) 处无极值.

(3)

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2.极值存在的必要条件和充分条件 极值存在的必要条件和充分条件 定理1(极值存在的必要条件) 定理 (极值存在的必要条件)

设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )具有偏导数 , 且在( x0 , y0 )取得 极值, 则f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0.Proof.设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )取得极小值 ,则f ( x , y ) > f ( x0 , y0 ),

取x = x0 , y ≠ y0 , 仍有f ( x0 , y ) > f ( x0 , y0 ),表明一元函数 f ( x0 , y )在 y = y0取得极小值 ,

∴ f y ( x0 , y0 ) = 0.同理可证 f x ( x 0 , y0 ) = 0 .

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注意: 注意

(1)若f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0, 则称( x0 , y0 ) 为z = f ( x , y )的驻点.( 2) z = f ( x , y )在极值点处的切平面为 z = z0 , 平行于 xoy面.(3) 如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有 偏导数， 偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 , f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .

(4)驻点 驻点

极值点(可偏导函数) 极值点(可偏导函数)

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定理2(极值存在的充分条件) 定理 (极值存在的充分条件)

设z = f ( x , y )在U ( P0 , δ )内连续, 且有一阶及二阶连续 偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0,

令 A = fxx ( x0 , y0 ), B = fxy( x0 , y0 ), C =

f yy ( x0 , y0 ),则 (1)当AC B 2 > 0时, 有极值 ,A < 0时有极大值 , A > 0时有极小值;

( 2)当AC B 2 < 0时, 没有极值; ( 3)当AC B 2 = 0时, 为可能极值 , 需另作讨论 .

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极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y ) 极值的一般步骤 ：

第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,求出实数解，得驻点 求出实数解，得驻点.

f y ( x, y) = 0

第二步 求 f xx ( x , y ), f xy ( x , y ), f yy ( x , y ).第三步 对于每一个驻点 ( x 0 , y0 ) ,

求出二阶偏导数的值 A、B、C. 、 、第四步 的符号，再判定是否是极值. 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值2

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3 2 ex1.求f ( x , y ) = x + y + y 3 x 2 + 1的极值 . 23 3

fx = 3x2 6 x = 0 x = 0, x = 2 得 Solution. (1)由 2 y = 0, y = 1 fy = 3y + 3y = 0 ∴ 驻点有( 0,0), ( 0, 1), ( 2,0 ), ( 2, 1)( 2) A = f xx = 6 x 6, B = f xy = 0, C = f yy = 6 y + 3( 3)在( 0,0)处A = 6 < 0, B = 0, C = 3,

AC B = 18 < 0, 无极值;2

在( 0, 1)处A = 6 < 0, B = 0, C = 3,

AC B = 18 > 0, 有极大值;2

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在( 2,0)处A = 6 > 0, B = 0, C = 3,

AC B = 18 > 0, 有极小值;2

在( 2, 1)处A = 6 > 0, B = 0, C = 3, AC B = 18 < 0无极值 .2

3 ∴ 极大值为 f ( 0, 1) = , 2 极小值为 f ( 2,0) = 3.

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1 1 ∴ 在(1, 1,6 )处 , A = < 0, B = 0, C = , 4 4AC B 2 > 0, 有极大值 ;

1 1 在 (1, 1, 2 )处 , A = > 0, B = 0, C = , 4 4AC B 2 > 0, 有极小值 .

∴ 极大值为 z (1, 1) = 6 , 极小值为 z (1, 1) = 2 .

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. 二 多元函数的最大值和最 小值(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 内的所有驻点处的函数值与在D 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在 内的所有驻点处的函数值与在 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 的边界上的函数值相互比较， 大值，最小的就是最小值. 大值，最小的就是最小值 (2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断 若问题 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 存在最值，且只有唯一一个驻点， 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点. 所求的最值点

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ex 2.求z = xy 1 x y 在x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0内2 2 2 2

的最大值.=0 z x = y 1 x y + xy 2 2 1 x y Solution. 令 y 2 2 =0 z y = x 1 x y + xy 2 2 1 x y2 2

x

2 x 2 + y 2 = 1 1 . , 得x = y = 即 3 x 2 + 2 y2 = 1 1 1 1 1 1 2 2 且( , )在x + y ≤ 1内, 而z ( , ) = 3 3 3 3 3 3

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对于边界上的点,以x = 0, y = 0, x + y = 1代入函数得 z ( x , y ) = 0,2 2

1 1 1 . ∴ ( , )为最大值点. 最大值为 3 3 3 3ex3. 把一个正数 表为三个正数之和，使其乘积最大， 把一个正数a表为三个正数之和 使其乘积

最大， 表为三个正数之和， 求这三个数. 求这三个数 Solution.

可设三个数为 x , y, a x y, 且0 < x < a,0 < y < a.

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则 z = xy( a x y ) z x = y( a x y ) + xy( 1) z y = x ( a x y ) + xy( 1) z x = y( a 2 x y ) = 0 令 z y = x(a x 2 y) = 0a 得x = y = 3

a a 从而( , )为唯一驻点, 根据实际问题存在最大 值, 3 3 a a 故在 x = y = 时, 即三个数为 时其乘积取得最大值 . 3 3