线性代数课件1.3

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

1.3 可逆矩阵1.3.1 可逆矩阵的概念 1.3.2 可逆矩阵的性质

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

1.3.1 可逆矩阵的概念定义1.18 定义 使得 对于n阶方阵 如果有一个n阶矩阵 阶矩阵B, 对于 阶方阵A ,如果有一个 阶矩阵 阶方阵AB = BA = E ,

则称方阵A是可逆的,并把矩阵 称为A的逆矩阵. 则称方阵 是可逆的,并把矩阵B 称为 的逆矩阵

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

定理1.1 一个矩阵 的逆矩阵是唯一的 一个矩阵A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的 定理 则有 证明 若B 和C是A 的可逆矩阵, 是 的可逆矩阵,AB = BA = E , AC = CA = E ,

可得 B = EB = (CA )B = C ( AB ) = CE = C . 所以A的逆矩阵是唯一的. 所以 的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的1 通常 A 的逆矩阵记为 A .

注意: 矩阵A与 都是方阵 都是方阵. 注意:(1) 矩阵 与B都是方阵 (2) 并非所有方阵都可逆 并非所有方阵都可逆. 例如: 零方阵不可逆. 例如 零方阵不可逆

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

阶方阵不可逆. 例1.16 证明某一行或一列为零的 n阶方阵不可逆. 阶方阵不可逆 证明 设 A = ( aij )n×n 的某一行为零 不妨设为第一行, 即 的某一行为零, 不妨设为第一行 0T βT A = 2 , 其中 β iT = (ai1 L ain ), (i = 2, L , n) . M βT n 则对任何n阶矩阵 阶矩阵B, 则对任何 阶矩阵 有 0T 0T β TB βT AB = 2 B = 2 ≠ E . M M T T β B β n n

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

定理1.2 对于 阶方阵 ,B, 若 AB = E (或 BA = E ), 定理 对于n 阶方阵AB = A 1 , A = B 1 . 则方阵A, 是可逆的 是可逆的, 则方阵 B是可逆的, 且 说明: 说明 均为n阶方阵时 当A, B均为 阶方阵时 均为 阶方阵时,

(1) 如果 如果AB = E指出矩阵 是可逆的 并且逆矩阵为 指出矩阵A是可逆的 指出矩阵 是可逆的, A1 = B; (2) 指出求逆矩阵的一种方法. 指出求逆矩阵的一种方法.A ( B? )= E 例如 已知 An , A2 = E , 求 A1 .

解 由于 A2 = E , 即 A A = E , 所以 A1 = A.北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

4 1 , 则A可逆 且 A1 = 1 1 1 . 例1.16 设 A = 可逆, 可逆 2 2 4 2 1 证明 因为 4 1 1 1 1 = 1 0 , 2 1 2 2 4 0 1 所以A可逆 所以 可逆, 且 可逆

1 1 1 A = . 2 2 4 1

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

a b , 一般地, 一般地 对于二阶矩阵 A = c d 可逆, 当 ad bc ≠ 0 时,A可逆 且 可逆A1

1 d b = ad bc c a

求二阶矩阵的逆矩阵公式

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

例 若n阶对角阵 A = diag(a1, a2 , L , an ), ai≠0 (i = 阶对角阵 1,2,…n), 则A可逆,且 可逆, 可逆

A = diag(a , a , L , a ). 证明 因为

diag(a1, a2 , L , an ) diag(a11, a11, L , a11 )1

1 1

1 1

1 1

= diag(1,1, L ,1) = En .所以A可逆, 所以 可逆,且 可逆1

A

= diag(a11, a11, L , a11 ).

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

1 0 1 2 1 1 0 1 0 2 例1.17 设 A = , B = 1 1 , C = 2 0 , 1 2 3 0 3 0 0 0 0 3 0 0 1 1 (1) 证明 可逆 并求 -1; 证明A可逆 并求A 可逆,(2) 求矩阵 使满足矩阵方程 AXB=C . 求矩阵X使满足矩阵方程 分块如下: 解 (1) 将A分块如下 分块如下 1 0 1 2 0 1 0 2 E2 A12 A= = 3E O 3 0 0 0 2 22 0 3 0 0

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

1 0 A= 3 0

0 1 0 3

1 0 0 0

2 2 E2 A12 = 3E O 0 2 22 0

由例1.16知: 方阵 A12 和 E2 都是可逆方阵 且 知 由例 都是可逆方阵, A121 = 1 2 2 , E 1 = E , (3E )1 = 1 E . 2 2 2 2 0 1 3 2 可逆, 若A可逆 则存在 阶方阵 Q, 使得 AQ = E. 可逆 则存在4阶方阵 把Q按和 A相同的方式分块为 按和 相同的方式分块为 Q11 Q12 , Q = 其中Q 均为2阶方阵 阶方阵. Q21 Q22 其中 ij均为 阶方阵

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

E2 A12 Q11 Q12 则有 AQ = 3E2 O Q21 Q22

Q11 + A12Q21 Q12 + A12Q22 = E 2 . = 3Q11 3Q12 E2 比较可知, 比较可知

Q11 + A12Q21 = E2 Q12 + A12Q22 = O

3Q11 = O 3Q12 = E2

Q11 = O, 1 Q12 = E2 , 3 Q21 = A12 1Q22 = A12 1Q12 = 1 A12 1, 3

北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

1 O E2 22 , 3 Q= 1 A12 1 A121 3 1 O E2 E E2 A12 22 = 2 3 由于 AQ = 3E2 O22 1 1 1 O A12 A12 3 所以A可逆 可逆. 所以 可逆 1 0 0 0 3 1 O 1 E2 0 0 22 0 1 3 A = Q= 3 = 1 1 1 A12 1 A121 1 1 3 3 3 1 0 1 0 2 6北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

O , E2 .

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

2 1 B 1 = (2) 易求得 对矩阵方程AXB=C, , 1 1 , 对矩阵方程 1 1 A1 C B 1, A AXB B = X = A1CB 1 1 0 0 0 3 1 1 1 0 0 0 3 2 0 2 1 = 1 1 3 0 1 1 1 1 3 1 1 3 1 0 1 0 1 2 2 6 1/ 3 0 = . 8 / 3 1 11 / 6 1 北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,是理工类、经管类数学课程的重要内容。

设方阵A是分块对角阵 是分块对角阵, 例1.18 设方阵 是分块对角阵 即 A1 A2 A= , O As 证明A可逆 并求A 可逆, 其中A 是可逆方阵, 其中 i (i = 1, 2, …, s)是可逆方阵, 是可逆方阵 证明 可逆 并求 -1. 证明 由于Ai (i =1, 2, …, s)可逆 所以 Ai1 存在 使得 可逆, 存在, 由于 可逆…… 此处隐藏：2732字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……