南京信息工程大学高数期末考试试卷B

学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)

本试卷共 9 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；出卷时间年

南京信息工程大学试卷

学院专业 班

一、填空题(每小题3分,共15分)

y

1、已知f(x y,) x2 y2,则f(x,y) _____________.

x

2、已知

e

x2

dx ,则

xedx ___________.

1

2 x

3、函数f(x,y) x2 xy y2 y 1在__________点取得极值.

4、已知f(x,y) x (x arctany)arctany,则fx (1,0) ________.

5、以y (C1 C2x)e3x(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是

____________________.

二、选择题(每小题3分,共15分)

e dx

6、知 e(1 p)xdx与 均收敛,

1xlnp 1x 0

则常数p的取值范围是( ).

(A) p 1 (B) p 1 (C) 1 p 2 (D) p 2

4x22

, x y 0 x2 y2

7、数f(x,y) 在原点间断,

0, x2 y2 0

是因为该函数( ).

(A) 在原点无定义

(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义

(D) 在原点二重极限存在,

但不等于函数值 8、若I1

x2 y2 1

,I2

1 x2 y2 2

,

I3

2 x2 y2 4

,则下列关系式成立的是( ).

(A) I1 I2 I3 (B) I2 I1 I3 (C) I1 I2 I3 (D) I2 I1 I3

9、方程y 6y 9y 5(x 1)e3x具有特解( ). (A) y ax b (B) y (ax b)e3x (C) y (ax2 bx)e3x (D) y (ax3 bx2)e3x

10、设 a收敛，则 ( 1)nan( ).

2nn 1

n 1

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定

三、计算题(每小题6分,共60分)

32

11、求由y x,x 4,y 0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.

12、求二重极限 lim

x 0y 0

x2 y2x y 1 1

2

2

.

2z

13、z z(x,y)由z e xy确定，求.

x y

z

14、用拉格朗日乘数法求z x2 y2 1在条件x y 1下的极值.

15、计算 1dy 2edx.

2

y

1 y

xy

16、计算二重积分 (x2 y2)dxdy，其中D是由y轴

D

及圆周x y 1所围成的在第一象限内的区域.

22

17、解微分方程y y x.

18、判别级数 (n3 1 n3 1)的敛散性.

n 1

19、将函数区间.

1

展开成x的幂级数,并求展开式成立的3 x

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

， R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x12 10x2

求最优广告策略.

四、证明题(每小题5分,共10分)

z z1 y . x

y3

21、设z ln(x y)，证明：x

1

313

22、若 u与 v都收敛,则 (un vn)2收敛.

2n

2n

n 1

n 1

n 1

卷 第 9 页共 !未定义的书 未定义的书 签，SJYS 页

一、填空题(每小题3分,共15分)

x2(1 y)121、. 2

3、( ,). 4、1. 5、y" 6y' y 0.

331 y二、选择题(每小题3分,共15分)

6、(C ). 7、 (B). 8、(A ) . 9、(D). 10、(D).

三、计算题(每小题6分,共60分)

11、求由y x,x 4,y 0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积. 解：y

32

x的反函数为x y,y 0。且x 4时，y 8。于是

V (4 y)dy 16 (8 0) ydy

8

2

232

8

43

32

23

(3分)

7

3 3

128 y 128 (83 0)

7 7 0

512 7

37

8

(6分)

12、求二重极限 lim

x 0y 0

x2 y2x y 1 1

2

2

.

(x2 y2)(x2 y2 1 1)

解：原式 lim (3分) 22x 0x y 1 1y 0

li(x2 y2 1 1) 2 (6分)

x 0

y 0

2z

13、z z(x,y)由z e xy确定，求.

x y

z

解：设F(x,y,z) z ez xy，则 Fx y， Fy x ，Fz 1 ez

Fy zF yy z xx

， (3分) x zzzz

xFz1 e1 e yFz1 e1 e

2z y

x y y 1 ez

1 ez y ez

(1 ez)2

z y

1ezxy

(6分)

1 ez(1 ez)2

14、用拉格朗日乘数法求z x2 y2 1在条件x y 1下的极值. 解：z x2 (1 x)2 1 2x2 2x 2

11

令z' 4x 2 0,得x ,z" 4 0,x 为极小值点. (3分)

22

113

故z x2 y2 1在y 1 x下的极小值点为(,),极小值为 (6分)

222

15、计算 1dy 2edx.

2

y

1

y

xy

311

解：I 1dy 2edx e e2 (6分)

y822

1

y

x

y

16、计算二重积分 (x2 y2)dxdy，其中D是由y轴及圆周x2 y2 1所围成的在第

D

一象限内的区域.

2

2

解： (x y)dxdy＝ 2d r3dr＝

00

D

1

(6分) 8

17、解微分方程y y x.

解：令p y ,y p ,方程化为p p x,于是

( 1)dx( 1)dx

p e ( xe dx C1) ex( xe xdx C1)

ex[ (x 1)e x C1] (x 1) C1ex (3分)

1

y pdx [ (x 1) C1ex]dx (x 1)2 C1ex C2 (6分)

2

18、判别级数 (n3 1 n3 1)的敛散性.

n 1

(3分)

因为lim 1 (6分)

n n

19、将函数

1

展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间. 3 x

1111

xn, 1 x 1, (3分) 解：由于,已知

1 xn 03 x31 3

11 xn 1n

那么 () n 1x, 3 x 3. (6分)

3 x3n 03n 03

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

， R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x12 10x2

求最优广告策略.

2

解：公司利润为L R x1 x2 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2

1 13 8x2 4x1 0, 4x 8x2 13, Lx

令 即 1

Lx2 31 8x1 20x2 0, 8x1 20x2 31,

35

得驻点(x1,x2) (,) (0.75,1.25),而 (3分)

44

1x2 8,C Lx 2x2 20, 1x1 4 0,B LxA Lx

D AC B2 80 64 0,

所以最优广告策略为：

电台广告费用0.75(万元),报纸广 …… 此处隐藏：1673字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……