八年级数学上册 因式分解的方法汇总课件 人教新课标版

使用的教材是人教版八年级上册

因式分解的方法一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。

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方法一：提分因式法 这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数(式)

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方法二：公式法 一、平方差公式： (a b)(a b) a b 2 二、完全平方公式： 2ab b2 (a b) 2 a2 2

三、立方和(差)公 式： 3 3 23 3

a b (a b)(a ab b2 )

a b (a b)(a ab b )2 2

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四、完全立方和(差) 分式： 3 2 2

a 3a b 3ab b (a b)3

3

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五、常用到的式子： b a 1 (a 1)(b 1) aba 4 4 (a 2 2a 2)(a 2 2a 2)a2 b2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c) 23 3 3 2 2 2

a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ac)

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方法三：十字相乘法对二次三项式的系数进 行分解，借助直字交 叉图分解，即：

x ( p q) x pq ( x p)(x q)2

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例题：用十字交叉法分解下 列多项式： 2 (1)

x x 62

(2) (3) (4)

x 7 x 10 2 x 7 x 10 2 x 2x 3

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方法四、换元法 对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替 (即换元),则能使复杂问题简单化、 明朗化，在减少多项式项数，降低多项 式结构复杂程度等方面有独到作用。

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例题：(分解因式) (第12届“五羊杯” 竞赛题)

( x x 4)(x x 3) 104 24

2

解：设x 4 x 2 原式= a 3) 10 (a 4)( a2 a 2 (a 2)(a 1)

a

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同步练习：分解因式 (1) x 2)(x2 5x 3) 12 ( x2 5 2 ( (2)x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x

x y ((3) )(x y 2 xy) ( xy 1)(xy 1) 2 (4)x 2 (1999 1) x 1999 1999 ((5) 2xy)(x y 2) ( xy 1)2 x y (6) 3 3 3(2x 3 y) (3x 2 y) 125( x y)

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设 (1)解：:x 2 5x a 则原式= (a 2)(a 3) 12 a 2 5a 6 (a 6)(a 1)

(2)解：原式 6)(x (x 7x =2

2

5 x 6) x 2

( x 2 6 x 6 x)(x 2 6 x 6 x) x 2 ( x 2 6 x 6) 2

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(3)设x+y=a,xy=b,则原式 =a(a+2b)+(b+1)(b-1) a 2 2ab b 2 1 = (a b 1)(a b 1)

(4)原式=

1999x 2 1999x 2 x 1999 1999x( x 1999) ( x 1999) (1999x 1)(x 1999)

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(5)原式= 2 2( x y ) 2 xy( x y ) 4 xy ( xy) 2 2 xy 1 ( x y) ( x y x

y) 2 2( x y xy) 1 ( x y xy 1) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2

(6)原式=(2 x 3 y )3 (3x 2 y )3 [5( x y )]3 (2 x 3 y ) 3 (3 x 2 y ) 3 [(2 x 3 y ) (3x 2 y )]3 15( x y )(2 x 3 y )(3 x 2 y )

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方法五、分组分解法 (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(a+b)(m+n) (2)形如： x2 y2 2x 1 ( x 2 2 x 1) y 2 ( x 1) 2 y 2 ( x y 1)(x y 1)

把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能 运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。

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分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能 出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分 解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思 想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有： (1)按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起； (2)按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂 排列，再分组； (3)按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分 组。 在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。

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例题1(上海市竞赛题)多项式

x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y 2xyz

因式分解后的结果是 解：将原式重新整理成关于x的二次三 项式，则 原式= ( y z ) x ( y z 2 yz) x ( zy z y )2 2 2 2 2

( y z )[x 2 ( y z ) x yz] ( y z )(x y )(x z )