新人教A版选修2-3 数学：2.3离散型随机变量的均值与方差 课件三

2.3

离散型随机变量的均值 与方差

对于离散型随机变量 , 可以由它的概率 分布列确定与该随机变量相关事件的 概率.但在实际问题中 , 有时我们更感兴 趣的是随机变量的某些 数字特征.例如, 要了解某班同学在一次数学测验中的 总体水平 , 很重要的是看平均分 ; 要了解 某班同学数学成绩是否 " 两极分化" , 则 需要考察这个班数学成 绩的方差 .

2.3.1 离散型随机变量的均值

18元 / kg

思考 某商场要将单价分别为 18元 / kg,24元 / kg,36元 / kg的三 种糖果按 3 : 2 : 1的比例混合销 售,如何对混合糖果定价才 合理 ?由于在1 kg 的混合糖果中 ,3 种糖果 1 1 1 的质量分别是 kg, kg, kg, 所以 2 3 6 混合糖果的合理价格应 该是 1 1 1 18 24 36 23 元 / kg 2 3 6

24元 / kg

36元 / kg

? 元 / kg

它是三种糖果价格的一 种加权平均 .这里 1 1 1 的权数分别是 , 和 . 2 3 6

权是秤锤,权数是起权衡轻重作用 的数值.加权平均是指在计算若 干个数量的平 均数时, 考虑到每个数量在总量 中所具有 的重要性不同 , 分别给予不同的权数 .

思考 如果混合糖果中每一颗 糖果的质量 都相等 , 你能解释权数的实际含 义吗?

根据古典概型 , 在混合糖果中 , 任取一颗糖果 ,它的 单价为18元 / kg, 24元 / k, 36元 / kg 的概率分别为 1 1 1 , 和 .用X表示这颗糖果的价格 , 则它是一个离 2 3 6 散型随机变量 , 其分别列为X P

18 1 2

24 1 3

36 1 6

因此权数恰好是随机事 变量X的分布列 .这样,每 千克混合糖果的合理价 格为 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36 .

一般地, 若离散型随机变量 X的分布列为X P

x1

x2

xi

xn

p1

p2

pi

pn

则称 EX x1p1 x 2p 2 x ipi x npn 为随 机变量X的均值 mean 或 数学期望 (mathema tical exp ectation).它反映了离散型随机变 量取 值的平均水平 .

若Y aX b, 其中a, b为常数, 则Y也是随机变量, 因为 P Y ax i b P X x i , i 1 , 2, , n, 所以, Y的分布列为X P

ax1 b

ax 2 b

ax i b

axn b

p1

p2

pi

pn

于是EY ax1 b p1 ax 2 b p2 axi b pi axn b pn a x1p1 x 2p2 aEX x ip x p b(p1 p2 i n n b, pi pn ) 即 E aX b aEX b.

思考 随机变量的均值与样本 的平均值有何联系 与区别? 可以看到 ,随机变量的均值是常数 ,而样本的平均值 是随机变量 .对于简单随机样本 ,随着样本容量增加 , 样本平均值越来越接近

于总体均值 . 思考 在实际问题中 ,如何估计随机变量的总 体均 值呢?

例1 在篮球比赛中 , 罚球命中 1次得1分,不 中得0分.如果某运动员罚球命中 率为 0.7, 那么他罚球 1次的得分X的均值是多少 ?

解 因为P X 1 0.7,P X 0 0.3,

1 0.7 0 0.3 0.7 .所以 EX 1 P X 1 0 P X 0 根据两点分布的均值公 式,如果罚球命中率 为0.8,那么罚球 1 次的得分均值是多少 ?

一般地, 如果随机变量X服从两点分布, 那么EX 1 p 0 1 p p. 于是有

若X服从两点分布 ,则EX p.k k 1 如果X ~ B n, p , 则由kC nC n 1, 可得 n n n k 1 k 1 n 1 k 1 q k k n k npC n 1p EX kCnp q k 1

np C p qk k n 1 k 0

k 0 n 1

n 1 k

np. 于是有

若X ~ B n,p ,则EX np .

例 2 一次单元测验由20 个选择题构成 , 每个选择题 有 4 个选项 , 其中仅有一个选项正确 .每题选对得 5 分, 不选或选错不得分 ,满分 100 分.学生甲选对任意一题 的概率为0.9 ,学生乙则在这 次 测验中对每题都从各 选项中随机地选择一个 .分别求学生甲和学生乙 在这 次测验中的成绩的均值 . 解 设学生甲和学生乙在这次 测验中选对的题数分 别是X1和X2 ,则X1 ~ B 20,0.9 , X2 ~ B 20,0.25 .所以 EX1 20 0.9 18,EX2 20 0.25 5. 由于每题选对得 5 分, 所以学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是 5 X1和 5 X2 .这样, 他们在测验中的成绩 的期望分别是 E 5X1 5EX1 5 18 90,E 5X2 5EX2 5 5 25.

思考 学生甲在这次测验中的 成绩一定是 90分 吗? 它的均值为 90分的含义是什么 ? 例 3 根据气象预报 ,某地区近期有小洪水 的概 率为0.25, 有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地 上有一台大型设备 , 遇到大洪水时要损失 60 000 元, 遇到小洪水时要损失 10 000元.为保护设备 ,有 以下三种方案: 方案1 : 运走设备, 搬运费为 3 800元. 方案2 : 建保护围墙 , 建设费为 2 000元.但围墙只能 防小洪水. 方案3 : 不采取措施 , 希望不发生洪水 . 试比较哪种方案好 .

解 用X1、X2和X3分别表示三种方案的损 失. 采用第 1种方案,无论有无洪水 , 都损失38 000 元,即X1 38 000.

采用第2 种方案, 遇到大洪水时 ,损失 2 000 60 000 62 000;没有大洪水时 ,损失2 000元, 62 000, 有大洪水; 即 X2 2 000, 无大洪水. 同样,采用第3种方案,有62 000, 有大洪水; X3 10 000, 有小洪水 0, 无洪水.

EX 2 62 000 P X2 62 000 2 000 P X2 2 000

于是,EX 1 3 800,

62 000 0.01 2 000 1 0.01 2 600,EX 3 60 000 P X3 60 000 10 000 P X3 10 000 0 P X3

0 60 000 0.01 10 000 0.25 3100.采取方案2的平均损失最小 , 所以可以选择方案 2.

值得注意的是 , 上述结论是通过比较 " 平均 损失" 而得出的 .一般地, 我们可以这样来理 解 " 平均损失" : 假设问题中的气象情况 多 次发生, 那么采用方案 2 将会使损失减到最 小.由于洪水是否发生以及 洪水发生的大小 都是随机的 , 所以对于个别的一次决 策 ,采 用方案2也不一定是最好的 .

作业 ：P69习题2.3A组(1—3)