贝努利不等式的应用

贝努利

第２６卷第２期

河南科学

Ｖｏｌ．２６Ｎｏ．２Ｆｅｂ．２００８

２００８年２月

文章编号：１００４－３９１８（２００８）０２－０１３８－０５

ＨＥＮＡＮＳＣＩＥＮＣＥ

贝努利不等式的应用

邢家省１，

付传玲１，

郭秀兰２

１０００８３；

４５００５２）

（１．北京航空航天大学数学系，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京

２．河南工业大学理学院，郑州

摘

要：引用贝努利不等式给出了在证明重要极限和数列极限时的作用；给出了几何平均算术平均不等式、Ｙｏｕｎｇ

不等式和Ｙｏｕｎｇ逆不等式的证明，沟通了这些重要不等式之间的联系．

关键词：贝努利不等式；几何平均算术平均不等式；Ｙｏｕｎｇ不等式；Ｙｏｕｎｇ逆不等式中图分类号：Ｏ１７７．２

文献标识码：Ａ

贝努利不等式是分析不等式中最常见的不等式，在许多书的初始阶段就引述了贝努利不等式［１－４］，但此后

虽然贝努里不等式本身是一个很初等的不等式，但它的应就很少见到贝努利不等式的踪影了．我们发现，

用是非常广泛的，许多结果应用贝努里不等式去证明是非常自然和简单的．我们还发现利用贝努利不等式可以给出几何平均算术平均不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式和Ｙｏｕｎｇ逆不等式的证明，从而沟通了这些重要不等式之间的联系．应用贝努利不等式还使重要极限中的许多结论的证明系统化、自封完备化．这些应用和联系充分说明了贝努利不等式的重要意义和使用价值．用Ｎ＊表示正整数集．

１贝努利不等式及其直接运用

定理１［１］（贝努利不等式）

设ｎ≥２，实数ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ都大于－１，并且它们都有着相同的符号，则成立

ｎ

（１＋ｘ１）（１＋ｘ２）…（１＋ｘｎ）＞１＋ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ；特别地，当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ＝ｘ＞－１，且ｘ≠０，成立（１＋ｘ）＞１＋ｎｘ，（ｘ＞－１，ｘ≠０）．

定理２设ａ１，ａ２，…，ａ（）都是正实数，且ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＜１，则成立ｎｎ≥２

（１１

ｋ＝１

１－#ａｋ

证明

＞$（１＋ａｋ）＞１＋%ａｋ；（２ｋ＝１

ｋ＝１

ｎｎ

１

ｋ＝１

１＋#ａｋ

＞&（１－ａｋ）＞１－%ａｋ．

ｋ＝１

ｋ＝１

ｎｎ

由条件，得０＜ａｋ＜１，ｋ＝１，２，…，ｎ；利用贝努里不等式，得

（１＋ａ）＞１＋%ａ&

ｋ＝１

ｋ

ｋ＝１

ｎ

ｎ

ｋ

，&（１－ａｋ）＞１－%ａｋ，

ｋ＝１

ｋ＝１

ｎｎ

由１＞１－ａｋ２＝（１＋ａｋ）（１－ａｋ），得出从而，得

１１－%ａｋ

ｋ＝１１＞（１＋ａｋ），１＞（１－ａｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ；

ｋｋ

ｎ

ｎ

＞&１＞&（１＋ａｋ），ｋ＝１ｋｋ＝１

１１＋%ａｋ

ｋ＝１＞&１＞&（１－ａｋ），

ｋ＝１ｋｋ＝１

ｎｎ

故成立式（１），（２）．

定理３设ｂ＞ａ＞０，对任一正整数ｎ，有

１１

ｂｎ－ａｎ＜ｎｂｎ－（ｂ－ａ）；（２）ｂｎ－ａｎ＞ｎａｎ－（ｂ－ａ）．（１）

证明

１

方法１：ｂｎ－ａｎ＝（ｂｎ－１＋ｂｎ－２ａ＋…＋ａｎ－１）（ｂ－ａ）＜ｎｂｎ－（ｂ－ａ）；

１

ｂｎ－ａｎ＝（ｂｎ－１＋ｂｎ－１ａ＋…＋ａｎ－１）（ｂ－ａ）＞ｎａｎ－（ｂ－ａ）．

收稿日期：２００７－０９－１６

基金项目：北京市级精品课程建设项目基金资助；北京航空航天大学校级精品课程建设项目基金资助作者简介：邢家省（１９６４－），男，河南泌阳人，副教授，博士，从事偏微分方程研究和教学工作．

贝努利

２００８年２月

ｎ

ｎ

邢家省等：贝努利不等式的应用

－１３９－

ｎ

ａａ方法２：由（１＋ｘ）＞１＋ｎｘ，得，ｙ＞１＋ｎ（ｙ－１），（ｙ＞０，ｙ≠１），取ｙ＝＞１＋ｎ（ａ－１），ａｎ＞ｂｎ－ｎｂｎ－１（ｂ－ａ），ｎ

１１ｂ－ａ）；在ｙｎ＞１＋ｎ（ｙ－１），（ｙ＞０，ｙ≠１）中，取ｙ＝ｂ，得ｂ＞１＋ｎ（ｂ－１），ｂｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－（ｂ－ａ），于是ｂｎ－ａｎ＜ｎｂｎ－（

１

于是得到ｂｎ－ａｎ＞ｎａｎ－（ｂ－ａ）．

定理４设ｂ＞ａ＞０，对任一正整数ｎ，有

ｎ

（１）ｂｎ＋１－ａｎ＋１＜（ｎ＋１）ｂ（ｂ－ａ），ａｎ＋１＞ｂｎ［（ｎ＋１）ａ－ｎｂ）；ｎ（２）ｂｎ＋１－ａｎ＋１＞（ｎ＋１）ａ（ｂ－ａ），ｂｎ＋１＞ａｎ［（ｎ＋１）ｂ－ｎａ）．

定理５（１）设ａ，ｂ≥０，对任一正整数ｎ，成立ａｂｎ－１≤１ａｎ＋ｎ－１ｂｎ；

（２）对任意ｘ，ｙ≥０，对任一正整数ｎ≥２，成立ｘｙ≤１ｘｎ＋ｎ－１ｙ．

ｎ１

证明（１）不妨设ａ，ｂ＞０．由（１＋ｘ）≥１＋ｎｘ，得，ｙｎ≥１＋ｎ（ｙ－１），（ｙ＞０），取ｙ＝ａ得，ａｎ≥ｂｎ－ｎｂｎ－（ｂ－ａ），

ｎ

从而得ａｂｎ－１≤１ａｎ＋ｎ－１ｂｎ；

（２）在（１）式中取ａ＝ｘ，ｂ＝ｙ

１

，即得到成立ｘｙ≤１ｘｎ＋ｎ－１ｙ．

ｎ

ｎ

定理６（几何平均值－算术平均值不等式）对任意ｎ（ｎ≥２）个非负实数ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，成立%１２ｎ≤

ｘ＋ｘ＋…＋ｘ，等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．

证明

利用贝努利不等式，多次套用定理５中的不等式（２），得

ｎ－１ｘ１≤…≤ｘ＋ｘ＋…＋ｘ，&%１２ｎ＝ｘｎ&ｘｉ≤ｘｎ＋ｉ

ｉ＝１ｉ＝１

ｎ

１

ｎ－１

１ｎ－１

１

等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．

对任意ａ，ｂ＞０，有理数０＜ｒ＝ｍ＜１，利用几何平均算术平均不等式，有

ａｂ

ｍｎ－ｍ≤ｍａ＋ｎ－ｍｂ，即ａｒｂ１－ｒ≤ｒａ＋（１－ｒ）ｂ．ｒｋ

１－ｒｋ

ｋ’∞

对任何实数０＜!＜１，存在有理点列｛ｒｋ｝，０＜ｒｋ＜１，使得ｌｉｍｒｋ＜!，在ａｂ

ｐ

ｐ

≤ｒｋａ＋（１－ｒｋ）ｂ中取极限，由连

续性，即得成立ａ!ｂ１－!≤!ａ＋（１－!）ｂ，由此不等式，可得Ｙｏｕｎｇ不等式和Ｙｏｕｎｇ逆不等式．Ｙｏｕｎｇ不等式与Ｙｏｕｎｇ逆不等式在ｌ空间、Ｌ空间、泛函分析、调和分析、索伯列夫空间等理论中发挥着重要作用．

２贝努里不等式在证明重要极限时的应用

ｎｎ＋１

定理７［３］（１）｛（１＋１｝为递增数列；（２）｛（１＋１｝为递减数列．

证明（１）在ａｎ＋１＞ｂｎ［（ｎ＋１）ａ－ｎｂ）中取ａ＝１＋１

，ｂ＝１＋１，由于［（ｎ＋１）ａ－ｎｂ）＝（ｎ＋１）（１＋１）－

ｎ＋１ｎｎ

ｎ（１＋１＝１，故有（１＋１）＞（１＋１，即｛（１＋１｝为递增数列．

ｎ

（２）在ｂｎ＋１＞ａ［（ｎ＋１）ｂ－ｎａ）中取ａ＝１＋１，ｂ＝１＋１，由于［（ｎ＋１）ｂ－ｎａ）＝（ｎ＋１）（１＋１－ｎ（１＋１＝１＋

１＋１＞１＋ｎ＋２＋１＞１＋２＋１２ｎ＋１ｎ＋２ｎ＋１

＝（１＋１，故有（１＋１＞（１＋１，即｛（１＋１｝为 …… 此处隐藏：2866字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……