第四章 经典单方程计量经济学模型

第四章 经典单方程计量经济学模 型：放宽基本假定的模型

异方差性 序列相关 多重共线 随机解释变量

§4.1 异方差性异方差的概念 对于模型

Yi = β 0 + β1 X ii + β 2 X 2i + L + β k X ki + µi如果出现

Var(µi ) = σ

2 i

即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数， 即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数， 而互不相同，则认为出现了异方差性 而互不相同，则认为出现了异方差性 Heteroskedasticity) (Heteroskedasticity)。

§4.1 一、异方差的类型

异方差性

同方差性假定： 同方差性假定：σi2 = 常数 ≠ f(Xi) 性假定 异方差时 异方差时： σi2 = f(Xi) 异方差一般可归结为三种类型： 异方差一般可归结为三种类型： 三种类型 (1)单调递增型 单调递增型： (1)单调递增型： σi2随X的增大而增大 (2)单调递减型 单调递减型： (2)单调递减型： σi2随X的增大而减小 (3)复 (3)复 杂 型： σi2与X的变化呈复杂形式

§4.1 异方差性

§4.1 异方差性二、实际经济问题中的异方差性 例4.1.1:截面资料下研究居民家庭的储蓄 4.1.1: Yi=β0+β1Xi+µi 行为 Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支 配收入 高收入家庭： 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性， 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 µi的方差呈现单调递增型变化

§4.1 异方差性例4.1,2,以绝对收入假设为理论假 4.1,2, 设、以截面数据为样本建立居民消费 函数： 函数： Ci=β0+β1Yi+µI 将居民按照收入等距离分成n 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。 取组平均数为样本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布： 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数 两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小， 多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人 数少的组平均数的误差大。 数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同 样本观测值的观测误差 而不同，往往引起异方差性。 而不同，往往引起异方差性。

§4.1 异方差性例4.1.3,以某一行业的企业为样本 4.1.3, 建立企业生产函数模型 Yi=Aiβ1 Kiβ2 Liβ3eµi 被解释变量：产出量Y, 解释变量：资本K、劳动L、技术A, 解释变量：资本K 劳动L 技术A 被解释变量：产出量Y 那么：每个企业所处的外部环境 外部环境对产出量的影响被包含在随 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随 机误差项中。 机误差项中。 外部环境对产出量的影响程度不同 每个企业所处的外部环境对产

出量的影响程度不同， 每个企业所处的 外部环境对产出量的影响程度 不同 ， 造 成了随机误差项的异方差性。 成了随机误差项的异方差性。 这时， 这时 ， 随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化， 的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

§4.1 异方差性 三、异方差性的后果 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性， OLS估计量仍然具有无偏性， 估计量仍然具有无偏性 不具有有效性 但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(µµ )=σ E(µµ′)=σ2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性， 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性， 具有一致性 但仍然不具有渐近有效性。 不具有渐近有效性 但仍然不具有渐近有效性。

§4.1 异方差性2、变量的显著性检验失去意义 变量的显著性检验中，构造了t统计量 变量的显著性检验中，构造了t

§4.1 异方差性3、模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 另一方面， 另一方面，在预测值得置信区间中也包含参数估计量 所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值 所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值 OLS 的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大， 的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低 预测精度，预测功能失效。 预测精度，预测功能失效。

§4.1 异方差性 四、异方差性的检验 检验思路： 检验思路： 检验异方差性， 检验异方差性，也就是检验随机误差项 的方差与解释变量观测值之间的相关性 及其相关的“形式” 及其相关的“形式”。 一般的处理方法： 一般的处理方法：首 先 采 用 OLS 法 估 计 模 型 ， 以 求 得 随 机 误 差 项 的 估计量 注意， 估计量是不严格的) 我们称之为 近 ( 该 ， “ , ~ 似 估 计量 ” 用 e i 表 示 。 于 是 有~ V a r ( µ i ) = E ( µ i2 ) ≈ e i 2

~ $ ei = yi ( yi ) 0ls

§4.1 异方差性1、图示法~ ( 2 ) X - ei 的 散 点 图 进 行 判 断2

~ ei 2

~ ei 2

X 同方差 递增异方差

X

~ ei 2

~ ei 2

X 递减异方差 复杂型异方差

X

§4.1 异方差性检验与戈里瑟( 2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验 帕克( 检验与戈里瑟 检验 基本思想: 基本思想: 偿试建立方程：

~2 = f (X ) + ε 或 ~ ei | ei |= f ( X ji ) + ε i ji i选择关于变量X的不同的函数形式， 选择关于变量 的不同的函数形式，对方程进行估计并 的不同的函数形式 进行显著性检验，如果存在某一种函数形式， 进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程

显著成立，则说明原模型存在异方差性。 显著成立，则说明原模型存在异方差性。 帕克检验常用的函数形式： 如： 帕克检验常用的函数形式：

f ( X ji ) = σ 2 X α e ε i ji

或

ln(~i 2 ) = ln σ 2 + α ln X ji + ε i e

在统计上是显著的，表明存在异方差性。 若α在统计上是显著的，表明存在异方差性

§4.1 异方差性3、戈德菲尔德-匡特 戈德菲尔德(Goldfeld-Quandt)检验 (Goldfeld-Quandt)检验

G-Q检验的思想： 检验的思想： 先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归， 先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后 利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。 利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。

§4.1 异方差性G-Q检验的步骤： 检验的步骤： 按观察值X ①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队 对样本观察值( ②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划 将序列中间的c=n/4个观察值除去， c=n/4个观察值除去 分为较小与较大的相同的两个子样本， 分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均 (n为(n-c)/2 ③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和 对每个子样分别进行OLS回归， OLS回归