化工设备机械基础课件(平面弯曲)

三、平面弯曲

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.1 梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:弯曲内力：梁在外力作用下产生的弯曲变形，同时在梁的内部截 面上产生相互作用力，这种作用力称为弯曲内力。

m A F 0 RB l F a 0a 即RB F l 由 Fy 0, RA F RB 0

一、截面法求内力—剪力Q和弯矩M

l a Fb RA F RB F l l河南师范大学 王晓兵1

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.1 梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩: Fb Fy 0, RA Q1 0 Q1 RA l Q1称为剪力 力偶矩M1

M C1 0, M 1 RA x1 0, Fb M 1 RA x1 x1 l弯矩：力偶矩M1有使梁产生转动而弯曲的趋势，故称为 横截面上的弯矩。

形心：截面对称面与轴线的交点。 河南师范大学 王晓兵

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.1 梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩: Fb Fb M 1 RA x1 x1 Q1 RA l l

b

梁任一截面上的剪力，等于截 面一侧所有横向外力的代数和；

Fa Q2 RA F l

M 2 RA x2 F x2 a Fa M2 l x2 l 任一截面上的弯矩，等于该截面一侧 所有外力对该截面中性轴取矩的代数和。

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.1 梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:内力符号的规定：剪力

剪力：Q Fy剪力：Q1 RA

Q2 RA F左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外 力引起的剪力为正，反之为负，剪力等于该侧外 力的代数和。4

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.1 梁弯曲的内力——剪力和弯矩:内力符号的规定：弯矩

弯矩 : M mO F弯矩 : M1 RA x1

M 2 RA x2 P x2 a 弯矩等于该横截面一侧所有外力对该截面形心取力矩的代数和。 梁上向上的外力均产生负弯矩；而向下的外力均产生正弯矩。 截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针转向的力偶取正 值，反之取负值 河南师范大学 王晓兵5

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2 剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图: 一、剪力方程式和弯矩方程式梁的破坏通常发生在弯矩最大的截面。

Q Q( x ) M M ( x)

剪力和弯矩沿梁轴分布的数学表达式。 二、内力图—剪力图和弯矩图

以 x为横坐标，以剪力Q或弯矩M为纵坐标，选用一定 的比例尺，所作出的Q-x图或M-x图，可分别称为剪力图 或弯矩图。作剪力图和弯矩图是为了表示剪力和弯矩随截面位置变化的情况，以便 确定最大

剪力 Q max 和弯矩 M max 所在截面的位置及其数值，进行强度计算。 6

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2 剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:

例3-1.简支梁受集度为q的均布荷载 作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。 1 R A R B ql 2 ql Q ( x) RA qx qx 2

x ql qx 2 M ( x) RA x qx x 2 2 2

M

max

1 2 ql 8河南师范大学 王晓兵7

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例3-2.简支梁在C点处受集中荷载P作 用，画出此梁的剪力图和弯矩图。

Pa RB lQ( x1 ) R A

Pb RA l(0 x1 a) (0 x1 a)(a x2 l )

Pb l Pb M ( x1 ) R A x1 x1 la Q ( x2 ) RA P P l

M ( x2 ) RA x2 P( x2 a)

Pb x2 P( x2 A) l

(a x2 l )8

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例3-3.简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。分析：因梁上没有水平方向的载荷，且B 支座竖直放置，故A支座处FAx=0。

∵ ∑MA=0 ∴ FB· L+mC=0 ∴ FB=-mC /L(↑)M

∵ ∑Fy=0 ∴ FAy +FB =0 ∴ FAy=-FB =mC/L(↓)

B A FAy a C L FB

mC RA RB l河南师范大学 王晓兵

图10-5b

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例3-3.简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。

RA RB Q( x1 ) RA

mC l(0 x1 a) (0 x1 a)

mC l mC M ( x1 ) RA x1 x1 l

mC Q( x2 ) RA l mC M ( x2 ) RA x2 mC x2 mC l

(a x2 l ) (a x2 l )10

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3.2、直梁弯曲的内力分析dM ( x) 矩斜率： Q( x) dx d 2 M ( x) dQ( x) 剪力斜率： 2 q ( x) dx dx

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3.2、直梁弯曲的内力分析dM ( x) 矩斜率： Q( x) dx d 2 M ( x) dQ( x) 剪力斜率： 2 q ( x) dx dx

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3.2、直梁弯曲的内力分析dM ( x) 矩斜率： Q( x) dx d 2 M ( x) dQ( x) 剪力斜率： q ( x) 2 dx dx

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2 剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图: 内力图的一些规律：1、q(x)=0:一段梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线， 弯矩图为一斜直线； 2、q(x)=常数：一段梁上有均布荷载，剪力图为一斜直线，弯矩图 为一条二次曲线，当均布荷载q(x)向下时，弯矩图凸向上，当 均布荷载向上时，曲线凸向下； 3、弯矩的极值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0,则该截面的弯 矩为一极值； 4、集中力作用处：此处剪力图有突变，突变方向与集中力方向一 致，突变绝对值等于集中力数值，弯矩图上形成尖角； 5

、集中力偶作用处：此处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变 的绝对值等于集中力偶的数值。 河南师范大学 王晓兵14

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2 剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:例3-4.外伸梁上均布荷载的集度为 q=3kN/m, 集中力偶矩 m=3kN.m, a=2m, 画出剪力图和弯矩图。

例3-5.P63 河南师范大学 王晓兵

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3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2 剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:利用剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图的基本思路为： ① 求约束力 ② 建立剪力方程和弯矩方程 ③ 画剪力图和弯矩图

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