高中数学 2.2《等差数列》测试 新人教A版必修5

数学测试题

第2课时 等差数列

＝d（d为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴ an＝a1＋ ×d⑵ an＝am＋ ×d

3．等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ ．

4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：

⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)

6．等差数列{an}的两个重要性质：

⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．

⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．例1. 在等差数列{an}中，

(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60； (2)已知S12＝84，S20＝460，求S28； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82 a 1 a a 14d 10 3

解：(1)方法一： 151

a45 a1 44d 90 d 8

3

∴a60＝a1＋59d＝130． 方法二：d

an ama45 a1588

，由an＝am＋(n－m)d a60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝n m45 1533

130．

(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，

2 A 2 12A 12B 84

∴ 2

B 17 20A 20B 460

∴Sn＝2n2－17n

∴S28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15， 又S6＝∴15＝而d＝

6(a1 a6)6(a1 10)

226(a1 10)

即a1＝－5 2a6 a1

3 6 1

数学测试题

∴a8＝a6＋2 d＝16 S8＝

8(a1 a8)

44 2

变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ． 解：∵d＝a6－a5＝－5， ∴a4＋a5＋…＋a10＝

7(a4 a10)

7(a5 2d) 49 2

a21

（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝． an 1an a

例2. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．

⑵ 求数列{an}的通项公式．

a2

解：∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2)

an 1

∴ bn＝

1

an a

1a2a

an 1

an 1

(n≥2)

a(an 1 a)

∴ bn－bn－1＝

a11

(n≥2)

a(an 1 a)an 1 aa

1

的等差数列． a

∴ 数列{bn}是公差为⑵ ∵ b1＝

11

＝ aa1 a

故由⑴得：bn＝即：

11n＋(n－1)×＝ aaa

n11

＝ 得：an＝a(1＋) anan a

a

变式训练2.已知公比为3的等比数列 bn 与数列 an 满足bn 3n,n N*，且a1 1， （1）判断 an 是何种数列，并给出证明； （2）若Cn

1

，求数列 Cn 的前n项和

anan 1

bn 13an 1

a 3an 1 an 3, an 1 an 1，即 解：1）bn3n

an 为等差数列。

（2）Cn

111111n

, Sn 1 。 anan 1anan 1a1an 1an 1n 1

Sn

}前nn

例3. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{项和。求Tn．

解：设{an}首项为a1公差为d，由

数学测试题

7 6

S7 7a1 d 7 a1 2 2

d 115 14 S 15a d 75151 2

∴ Sn＝n2 n ∴

1

252Sn15 n n22

S1111

3 ∴Tn＝ n2 n

441

变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比A．

Sn5n 3a5

，则的值是 （ ） S'n2n 7b5

28485323

B． C． D． 17252715

(a1 a9)

9

a2a S9 48。 解：B 解析：5 5

b52b5(b b) 9S925

19

2

例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：

⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ ⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元． 问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 解：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：

S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n ＝500(n＋1)n

S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n ＝300(2n＋1)n

由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n 解得：n>2

∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多． ⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000 S2＝300×10×21＝63000 ∴ S2－S1＝8000

∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元． ⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．

*

则S12＝an(2n＋1) n∈N

∴ a＞＝

500(n 1)250250

＝250＋≥250＋ 2n 12n 13

1000 3

变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的

数学测试题

面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+

n(n 1)

50=25n2+225n, 2

令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)． 2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．

3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．

4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．