数学建模3.1量纲分析法

3.1 物 理 量 的 量 纲

量纲分析法建模动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲

质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2

万有引力常数 G 的量纲 [G] =[f][l]2[m]-2=M-1L3T-2

对无量纲量 ,[ ]=1(=M0L0T0)

m1m2 f G 2 r

量纲齐次原则 等式两端每一项的量纲必须一致 量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系

例：单摆运动

求摆动周期 t 的表达式设物理量 t, m, l, g 之间有关系式

t m l g 1 2 1 21

3

(1)

l m

1, 2, 3 为待定系数， 为无量纲量(1)的量纲表达式

[t ] [m] [l ] [ g ] 2 T M L T 33 2

3

mg 对比

1 0 2 3 0 2 1 3

1 0 2 1 / 2 1 / 2 3

l t g

l t 2 g

t m l g 1 2

3

为什么假设这种形式

设p= f(x,y,z)x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍

对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )

p1 f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 )f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )

p1 p1 p2 p 2p= f(x,y,z)的形式为

f ( x, y, z ) x y z

单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式

f (t , m, l , g ) 0

t m l g y1 y2 y3 y4

y1~y4 为待定常数, 为无量纲量T M Ly1 y2 y3

[t ] M 0 L0T 1 [m] M 1 L0T 0 1 [l ] M 0 LT 0 1 [ g ] M 0 LT 2 y2 0 y3 y4 0 y 2y 0 1 4

LTT

2 y 4

M 0 L0T 0

M LyT T

y2

y3 y4

y1 2 y4

M LT0 0

0

基本解

( y1 , y2 , y3 , y4 ) ( 2, 0, 1, 1)

t l g F ( ) 02 1

(t l / g )

Pi定理 (Buckingham)

设 f(q1, q2, , qm) = 0

是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为

[q j ] X i ,aij i 1

n

j 1,2, , m

量纲矩阵记作 线性齐次方程组

A {aij }n m ,

若 rank A r

Ay 0y sj

有 m-r 个基本解，记作

ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则

s qjj 1

m

为m-r 个相互独立的无量纲量, 且

F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定

量纲分析示例：管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 压强差 p 管道长l, 流速v, 粘性系数 , 选取物理量 密度 重力加速度g。

f (q1 , q2 , , qm ) 0

(l , v, , p, , g) 0[l] = L, [v] =LT-1, [ ] = ML-3, [p] = ML-1T-2, [ ] = ML-1T-1, [g] = LT-2 0 0 1 1 1 0 M A 1 1 3 1 1 1 L 0 1 0 2 1 2 T l

[q j ] X i ,aij i 1

n

j 1,2, , m

A {aij }n mm=6, n=3

v p g

rank A = rAy=0 有m-r个基本解ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r

rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解1 1 0 2 1 2 1 1 0 y y1 , y2 , y3 0 0 1 0 1 0 0 0 1

m-r 个无量纲量

s qjj 1

m

y sj

1 v p 2 lv 1 1 2 1 3 l v g 2 1

F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价

F( 1, 2 , 3 ) = 0与 (l,v, ,p, ,g) = 0 等价

s qjj 1

m

y sj

为得到差 p 的显式表达式 F=0

1 ( 2 , 3 )

1 v 2 1 p 2 lv 1 1 2 1 3 l v g 未定v gl : Froude number

p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ),Re 2 lv

: Reynold number;Fr 3

量纲分析示例：波浪对航船的阻力

航船阻力 f

航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度 , 重力加速度g。

f (q1 , q2 , , qm ) 0

( g , l , , v, s, f ) 0[g] = LT-2, [l] = L, [ ] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2 0 0 1 0 0 1 A 1 1 3 1 2 1 2 0 0 1 0 2 g

[q j ] X i ,aij i 1

n

j 1,2, , m

A {aij }n mm=6, n=3

l v s f

f (q1 , q2 , , qm ) 0rank A = r Ay=0 有m-r个基本解ys = (ys1, ys2, …,ysm)T

( g , l , , v, s, f ) 0rank A = 3Ay=0 有m-r=3个基本解

s = 1,2,…, m-r

m-r 个无量纲量

y1 ( 1 / 2, 1 / 2,0, 1, 0, 0) T y 2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3T

s qjj 1

m

y sj

1 g l v 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3 1 2 1 2

F( 1, 2 , 3 ) = 0与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价

F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价

s qjj 1

m

y sj

为得到阻力 f 的显式表达式

1 g l v 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3 3 ( 1 , 2 ) F=0 1 2 1 2

f l g ( 1 , 2 ),3

v s 1 , 2 2 l gl

未定

3.2 量纲分析在物理模拟中的应用例: 航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 f l g ( 1 , 2 ) 可得原 f1 l1 g1 1 ( 1 , 2 ) 已知模 v s 型船所 v1 , s1 型船所 , 2 2 1 2 2 1 受阻力 l1 g1l1 l 受阻力 gl

f , s , l , v, , g~模型船的参数(均已知) 注意：二者的 相同

f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1~原型船的参数 (f1未知，其他已知)

f l g ( 1 , 2 )3

f1 l13

g1 1 ( 1 , 2 ) v1 s1 1 , 2 2 l1 g1l1

v s 1 , 2 2 l gl

1 1 ,

2 23 1 1 3

f1 l ( 1 ) f l

f1 l1 f l

3

结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f, 可算出 f1 ~ 物理模拟

量纲分析法的评注 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲的选取

基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定

3.3 无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法， 通过选择恰当的变换可将按量纲齐次原则构成的方程简化为一个与其等价 但比它简单的方程。利用无量纲化方法也可以使某些数学问题简单。

例1:简化非线性参数方程ax b u3

A(ax b)k a

1/ 3

kx c

u3 Au c bk a

A, a, b, k , c 5个参数 u v u->v 无量纲化d c bk a

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