人教版高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型

3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型

三种函数模型的性质 y=ax(a>1) 在(0,+∞) 上的增减性 图象的变化 增函数 _______ 随x增大逐渐 y轴平行 与________ y=logax(a>1) 增函数 _______ 随x增大逐渐与 x轴平行 ________ y=xn(n>0) 增函数 _______ 随n值而 不同

增长速度

越来越快 ①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度_________, 会远远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1) 越来越慢 的增长速度_________ ax>xn>logax ②存在一个x0,当x>x0时,有___________

判断：(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( )

(2)当a>1,n>0时，在区间(0,+∞)上，对任意的x,总有 logax<xn<ax成立.( )

(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表 达的函数模型,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函 数.( )

提示：(1)错误.由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的增长速度.

(2)错误.不是对于任意的x成立，但总存在x0,使得当a>1, n>0,x>x0时，logax<xn<ax成立. (3)正确.指数型函数模型是能用指数型函数f(x)=abx+c (a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型，其增长特点是随 着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指 数爆炸”. 答案：(1)× (2)× (3)√

【知识点拨】 1.三类函数模型的增长差异 (1)对于幂函数y=xn,当x>0,n>0时，y=xn才是增函数，当n 越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1,又它们的图象关 于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小 时，y=logax(a>1)增长越快，一般来说，ax>logax(x>0,

a>1).

(3)指数函数与幂函数，当x>0,n>0,a>1时，可能开始时有xn>ax,但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于某一个确定

值x0后,就一定有ax>xn.

2.由增长速度确定函数模型的技巧 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现“爆炸”式增长的函数模型应该是指 数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.

类型 一

函数模型的增长差异

【典型例题】 1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( A.y=50x C.y=50x B.y=x50 D.y=log50x(x∈N*) )

2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在[0,+∞)上的增 长情况.

【解题探究】1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什 么？ 2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？ 探究提示： 1.是确定变量间的关系, 不能仅仅根据自变量较大时对应的 函数值比较,还要看函数的变化趋势. 2.对数函数模型变化规律是先快后慢,增长速度比较平缓,指

数函数模型变化规律是先慢后快,增长速度急剧上升.

【解析

】1.选C.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x越 来越大时，函数y=50x增长速度最快.故选C.

2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象(如图),从图象 上可以看出函数y=0.5ex-2的图象首先超过了函数y=ln(x+1)

的图象,然后又超过了y=x2-1的图象,即存在一个x0满足2 0.5ex0 2 x 0 1, 当x>x0时,

ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2.

【拓展提升】三种函数模型的表达形式及其增长特点 (1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常 数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的

增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常

数,m≠0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,

常称之为“蜗牛式增长”.

(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值

确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.

【变式训练】若x∈(0,1),试分析三个函数模型y=2x,

y x ,

1 2

y=lgx的增长差异，用“>”把它们的取值大小关系连接起来

为______.【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间

值“0”与“1”比较.【解析】当x∈(0,1)时，2x>1,1>x >0,1 2

lgx<0,所以2x>答案：2x>1 2

x >lgx.

1 2

x >lgx