第九章第3节 三重积分

中国矿业大学 理学院 杨宏晨老师 同济高数第六册 下

第三节 三重积分一、三重积分的概念

二、三重积分的计算

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一、 三重积分的概念引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀 的物质， 密度函数为 f ( x, y, z ) C , 求分布在 内的物质的质量 M . 采用 “分割，近似，求和，取极限”

v k( k , k , k )

可得 M lim

0

k 1

n

f ( k , k , k ) vk

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定义: 设 f ( x , y, z ) , ( x, y, z ) ,若对 作任意分割,及任意取点 , 下列“乘积和式”的极限

lim f ( k , k , k ) v k 0k 1

n

存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y , z )在 上的三重积分.

记作

f ( x, y, z ) d v n

即

f ( x, y, z ) d v lim f ( 0k 1

k

, k , k ) v k

d v称为体积元素在直角坐标系下也常写作 dv d x d y d z3

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性质三重积分的性质与二重积分相似 , 例如 中值定理: 设 f ( x, y, z ) 在有界闭域 上连续, 则存在

一点 ( , , ), 使得

f ( x, y, z )dv f ( , , )V z

( , , )

其中V为 的体积. 计算方法

f ( x, y, z)dv

y

计算三重积分有四种方 . 法

x4

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二、三重积分的计算1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分. 在直角坐标系下 dv dxdydz

f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz

z

若闭区域 在 xoy 如图， 面上的投影为闭区域 , D S1 : z z1 ( x , y ),

z z2 ( x , y )

z2 S2

z1

S1z z1 ( x , y )

S2 : z z2 ( x , y ),过点 ( x , y ) D 作直线,ab

oD( x, y )

yy y2 ( x )

从 z1 穿入，从 z2 穿出. x

y y1 ( x )5

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化三重积分为三次积分

f ( x, y, z )dxdydz ( z ( x , y ) f ( x , y , z )dz)dxdy

z2 ( x , y )1

D xy

( ab a

b

y2 ( x )

y1 ( x )

(

z2 ( x , y )

z1 ( x , y )

f ( x, y, z )dz)dy)dxzz z2 ( x , y )

dx

y2 ( x )

y1 ( x )

dy

z2 ( x , y )

z1 ( x , y )

f ( x, y, z )dz.z1

z2 S2

S1z z1 ( x , y )

其它公式类似 .ab

oD( x, y )

yy y2 ( x )

x

y y1 ( x )6

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例1. 计算三重积分

xd xd yd z

z

其中 为三个坐标面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 . 解:

11 2

xdxdydz

y

x11 x 2 y

xdx011 (1 x ) 2

1

1 (1 x ) 2

dy0

dz01

1 1 2 3 xdx (1 x 2 y ) d y ( x 2 x x ) d x 48 40 0 07

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例 2 化三重积分 I

f ( x , y , z )dxdydz 为三 2 2

次积分，其中积分区域 为由曲面 z x 2 y

z 2 x 2 所围成的闭区域. 及 z x2 2 y2 解 由 , z 2 x2 得交线投影区域

x 2 y 2 1,8

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I 1 dx

1

1 x 2 1 x2

dy x

2 x 22

2 y

2

f ( x , y

, z )dz .

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例3 化三重积分 I 2

f ( x , y , z )dxdydz为三 2

次积分，其中 积分区域

为由曲面 z x y , 2 y x , y 1 , z 0 所围成的空间闭区域.解1

如图，1 x2 y2

I 1 dx x 2 dy 0

f ( x , y , z )dz .10

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2、截面法截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴(例如 z 轴)投影，得 投影区间[c1 , c2 ]; (2) 对 z [c1 , c2 ]用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面 去截 ,得截面 D z ;

(3)计算公式

z

f ( x, y, z )dv c ( f ( x, y, z )dxdy)dz 1

c2

Dz

当f ( x, y, z )与x, y无关时此法较简单 .11

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例1

计算三重积分 zdxdydz ,其中 为三个

坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.

解

zdxdydz 0 zdz dxdy ,1

z

Dz

1

Dz {( x, y ) | x y 1 z , x 0, y 0}1 dxdy 2(1 z )(1 z ) Dz

o

1

y

x

1

1 1 2 原式 z (1 z ) dz . 0 2 24112

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例 2 计算三重积分 z dxdydz ,其中 是由2

x y z 椭球面 2 2 2 1 所成的空间闭区域. a b c解 : {( x , y , z ) | c z c ,z

2

2

2

x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c原式

Dz

o

y

c

c

z dz dxdy,2 Dz

x

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z

Dz

x2 y2 z2 Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c2 2

o

y

x2

z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c Dz

z2 ab(1 2 ), c 2 c 4 z 2 abc 3 . 原式 ab(1 2 ) z dz c 15 c14

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3、利用柱面坐标计算三重积分设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 , ,则这样的三 个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标.规定： 0 ,z M ( x, y, z )

0 2 ,

o

z .x

P ( , )

y

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如图，三坐标面分别为 为常数圆柱面； 半平面； 平 面.z

为常数z 为常数

M ( x, y , z )

z

柱面坐标与直角坐 标的关系为

o

P ( , )

y

x cos , y sin , z z.

x