[高二数学上学期期末试题]北京市第十八中学2013届高二上学期期末

北京市第十八中学2011-2012学年第一学期高二数学期末模拟考试

数学(理)试卷

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：（共8道小题，每小题5分，共40分，选对一项得5分，多选则该小题不得分。

）

C ） x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B． 1 C． 1 D． 1 A．244642410

2．下列有关命题的说法中错误的是（ D ） A．若p q为假命题，则p、q均为假命题.

1．B．“x 1”是“x 3x 2 0”的充分不必要条件.

C．命题“若x2 3x 2 0,则x 1”的逆否命题为：“若x 1,则x 3x 2 0”. D．对于命题p: x R使得x x 1＜0，则 p: x R，使x x 1 0. 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ A ）个直角三角形

A.4 B.3 C.2 D.1

2

2

22

x

4．曲线y 在点 1,1 处的切线方程为 ( B )

2x 1

A． x y 2=0 B． x+y 2=0 C．x+4y 5=0 D．x 4y 5=0

5． ABC中，A( 2,0) 、B(2,0)、C(3,3)，则 AB边的中线对应方程为( B ) A．y x B．y x(0 x 3) C．y x D．y x(0 x 3) 6．已知P为△ABC所在平面α外一点，侧面与底面所成的二面角相等，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的( A )

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离为2，N 7．如图，椭圆

259

为MF1的中点，则ON（O为坐标原点）的值为( C )

A．8 B．2 C． 4 D．

3

2

x

2y2

1的左右焦点，8．已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C:顶点P在双曲线C 169

上，则

sinA sinB

的值等于（ D ）

sinP

54． D．

45A

．

第Ⅱ卷（非选择题 共60分）

二、填空题：（共6道小题，每小题5分，共30分）

9．函数f (x)=x ex的导函数f (x)= ；已知函数f x 在区间 0,3 内的图象如图所示，记

k1 f' 1 ,k2 f' 2 ,k3 f 2 f 1 ，则k1、k2、k3

之间的大小关系为 。（请用“>”连接）。

答案：(1+x)ex k1 k3 k2。

10．已知a (3 ,6, 6)，b ( 1,3,2 )为两平行平面的法向量，则 。 答案：

1

。 2

11．直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且 DAB=60的菱形，

AC BD O,AC B1D1 O1，则二面角O1 BC D的大小为 11

答案： 60。

12．命题“ x R，使ax 2ax 3 0成立”是假命题，则实数a的取值范围为。 答案：[0, 3]。

13．以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的

22

xy离心率为 ；设F1和F2为双曲线2 2 1(a 0,b 0)的两个焦点, 若F1，F2，ab

2

经过抛物线y P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为；

12

x的焦点4

作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若y1 y2 5，则线段AB的长等于__________．

2

；7。

；

2

anx 1，14．已知命题p：存在x R，使t命题q：x 3x 2 0的解集是{x|1 x 2}，

下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题； ④命题“¬p或¬q”是假命题，其中正确的有 .

答案：①②③④。

三、解答题：（共4道小题，6+9+8+7分）

15．已知函数f(x) alnx bx2图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为

y 3x 2ln2 2，求a,b 的值。

解：f'(x)

aa

2bx,f'(2) 4b,f(2) aln2 4b，f(2) 6 2ln2 2 x2

a

4b 3所以 2，解得a 2,b 1。

aln2 4b 6 2ln2 2

16．如图四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点。（1）求证：平面AEC 平面PDB；（2）当E为PB中点时，求证：OE//平面PDA，OE//平面PDC。（3

）当PD

且E为PB的中点时，求AE与平面PBC

所成的角的大小。

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD 底面ABCD，

∴PD⊥AC，BD PD D∴AC⊥平面PDB，又 AC 平面AEC ∴平面AEC 平面PDB. （2）∵四边形ABCD是正方形， OB OD，在PBD中，又 PE BE

，PD 平面PAD OE//PD，又 OE 平面PAD OE//平面PDA，同理可证OE//平面PDC。

解：（3）∵PD 底面ABCD， PD DA，PD DC，又 DA DC 所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则

D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，2），E（）

112

（1，0，0）（0，-12）（-）从而，AE ，CB ，PC

222

112222

n CB 0 x 0

（x，y，z）设平面PBC的一个法向量为n 。由 得

y 2z 0 n PC 0

（02，1）令z=1，得n 。设AE与平面PBC所成的角 ，则

n AE

sin

nAE

3

22

22112

444

2

6 3

AE与平面PBC所成的角的正弦值为

。 3

17．已知中心在坐标原点O的椭圆C

经过点A

，点B. (1) 求椭圆C的方程；

(2) 已知圆M:x2 (y 5)2 9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好

与圆M

相切，求双曲线G的方程．

解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为mx ny 1，

2

2

18m 16n 1{从而10m 20n 1有解得{

1

501n 25m

x2y2

故椭圆C的方程为 1

502522xy

(2) 椭圆C：＋1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，

5025

故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

xyb

设双曲线G的方程为221(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±，

aba即bx±ay＝0，且a＋b＝25， 圆心为(0,5)，半径为r＝3.∴

2

2

2

22

2

|5a|a＋b

2

2

＝3 a＝3，b＝4.

xy

∴双曲线G的方程为＝1.

916

18．已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程.

解：依题意可设抛物线方程为：y ax（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；

2

y2 ax

则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立 得4x2 (4 a)x 1 0

y 2x 1

即x1 x2

4 a1

x1x2 44

AB (k2 1)[(x1 x2)2 4x1x2] 5[(

得：a=12或-4（6分）

所以抛物线方程为y2 12x或y2 4x

4 a2

) 1] 4