指数函数、对数函数的图象与性质

指数函数、对数函数的图象与性质

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科)

指数函数、对数函数的图象与性质

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1.函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函 数的定义域是R; 2.函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是(0,+∞); 3.指数函数y=ax的图象与对数函数y=logax的图象(同底)关于 直线y=x对称，它们互为反函数；

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4.指数函数、对数函数的图象和性质，如下表所示： 名称 一般形式 定义域 值域 指数函数 y=ax (a>0,且a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 对数函数

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图象

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①当a>1时，在 单调性 (-∞,+∞)上为增函数 ②当0<a<1时，在 (-∞,+∞)上为减函数

①当a>1时，在 (0,+∞)上为增函数 ②当0<a<1时，在 (0,+∞)上为减函数

指数函数、对数函数的图象与性质

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科)①当a>1时： 若x>1,则y>0 若x=1,则y=0 若0<x<1,则y<0 ②当0<a<1时： 若x>1,则y<0 若x=1,则y=0 若0<x<1,则y>0

①当a>1时： 若x>0,则y>1若x=0,则y=1 函数值 的分布 若x<0,则0<y<1 ②当0<a<1时： 若x>0,则0<y<1 若x=0,则y=1 若x<0,则y>1

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1.若指数函数y=ax、对数函数y=logax的底数a未确定，在研 究其单调性、不等式或最值时，一定要对a分a>1和0<a<1 进行讨论. 2.对于某些方程(如超越方程)f(x)=g(x),要判定其方程解的 个数，当方程f(x)=g(x)不易求解时，可以利用图象处理： 在同一坐标系中，分别作出f(x)和g(x)的图象，它们的交点 个数就是方程f(x)=g(x)的解的个数. 3.将等式(或不等式)两边同时取对数是一种常见变形形式.

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4.在解指数方程、指数不等式、对数方程、对数不等式时， 应进行“同类”化一. 5.解对数方程的基本思路： logaf(x)=logag(x)

(或由f(x)=g(x)解出x后代入原方程验根)

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6.解对数不等式的基本思路：

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7.指数函数图象的分布规律：位于第一象限的部分，随着底 数的由小到大，图象自下向上分布. 8.利用指数函数、对数函数的单调性，解决诸如方程、不等 式、函数值的大小比较之类的问题.

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指数函数的图象1 |x| (2010上海市闸北区)设x∈R,f(x)=( ) . 2 (1)

请在所给的平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象； (2)若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的 取值范围.

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【解析】 (1)作图如下

1 |x| 1 2|x| (2)f(x)=(2) ,f(2x)=(2) 1 |x| 1 2|x| 对于任意x∈R,(2) +(2) ≤k恒成立. 1 |x| 令(2) =t∈(0,1],则y=t2+t(0<t≤1) 1 对称轴t=-2,则当t=1时，ymax=2, 所以k≥2即可.

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【名师点睛】

考查函数的图象、换元法、二次函数的最值等

知识.通过换元将其它问题转化为二次函数问题来研究是考试 的方向.

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1.函 数 f(x) = ax2 + 2x - 3 + m(a>1) 恒 过 点 (1,10) , 则 m = ________. 答案：9 解析：可将点(1,10)代入 f(x)=ax2+2x-3+m,得 m=9.

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名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科)2.方程 ax+1=-x2+2x+2a(a>0,a≠1)的解的个数为( A.0 答案：C 解析：画出指数函数及二次函数的图象 B.1 C.2 D.3

)

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名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科) 利用指数函数对数函数的性质比较大小(1)若 0<x<y<1,则( A.3y<3x C.log4x<log4y )

B.logx3<logy3 1x 1y D.(4) <(4) )

(2)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则( A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a (3) (2012 汕头一模)下列各式错误的是( A. 0.8 0.7 B. log 0.4 log 0.6 0.1 0.1 C. 0.75 0.75 D. lg 1.6 lg 1.43 30..5 0..5

)