线性代数第四章第3节

线性代数课件

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一.非齐次方程组有解的充分必要条件考虑非齐次方程组

Am n x b (2)

保持系数矩阵 A 不变，所得到的齐次方程组 Ax 为非齐次方程组(2)所对应的齐次方程组. 称矩阵

~ A A b 为非齐次方程组(2)的增广矩阵

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容易证明以下四种提法是等价的： 1. 方程组(2)有解； 2. b能由

1 , 2 , , n 1 , 2 , , n

线性表示；

3. 向量组

与

4.

1 , 2 , , n , b 等价; ~ ~ 系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩相等，即 R( A) R( A) .

在实际中,第4条使用较为方便.

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二.非齐次线性方程组解的性质

(1)设x 1及x 2都是Ax b的解, 则x 1

2为对应的齐次方程Ax 0的解.证明 A 1 b, A 2 b A 1 2 b b 0.即x 1 2满足方程Ax 0.

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( 2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解, 则x 仍是方程 Ax b 的解.证明 A A A 0 b b,所以x 是方程 Ax b的解.

证毕.

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三、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 Ax b 的通解为

x k1 1 kn r n r .其中 k1 1 kn r n r为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解. 因为若 x 为 的任意一个解 , 那么 为 Ax 0 Ax b x

的一个解,从而存在常数 c1 , c2 , , cn r 使得

x c1 1 cn r n r从而

x c1 1 cn r n r . 代表了Ax b 的一切解

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定理1

若非齐次方程组(2)有解，设R(A)=r,

则当r=n时，方程组(1)有唯一解；当r<n时， 方程组(1)有无穷多解。 证明 R(A)=n时，(2)对应的齐次方程组只有

零解，因此由非齐次方程组通解的表达式知它有唯一解。R(A)<n时(2)对应的齐次方程组有无 穷多解，再由非齐次方程组通解的表达式知它有 无穷多解。

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~ 例1 (无解的情形： R( A) R( A) )考虑方程组 x1 2 x2 x3 1 2 x1 4 x2 2 x3 0

解 方程组的增广矩阵为 对其做初等行变换得~ 易知 R( A ) 2,

1 2 1 1 ~ A A b 2 4 2 0

1 ~ A 0

2 1 0 0

1 2

R( A) 1 所以原方程组无 解.

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~ 例2(有唯一解的情形： R( A) R( A) n)考虑方程组

x1 x2 1 2 x1 x2 0 7 x x 3 1 2

解

方程组的增广矩阵为1 3 6 1 1 2 0 0 4

1 1 1 ~ A A b 2 1 0 7 1 3 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0 0 1 0 1 3 2 3 0

1 ~ A 0 0

因此可知原方程组有唯一解 x1 1 , x2 23 3

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例3(有无穷多解的情形：R( A) R( A) n ) 求解方程组

~

解

~ 对 增 广 矩 阵 A施 行 初 等 行 变 换

x1 x 2 x 3 x4 0, x1 x 2 x 3 3 x4 1, x x 2 x 3 x 1 2. 2 3 4 1

:

0 1 1 1 1 ~ A 1 1 1 3 1 1 1 2 3 1 2

1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2 , 0 0 0 0 0

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~ 可见R( A) R( A) , 故方程 组方程 , 并有 x1 x 2 x4 1 2 , x 3 2 x4 1 2 . 1 取 x 2 x4 0, 则 x1 x 3 , 即得方程组的一个解 2 1 2 0 . 12 0 x1 x 2 x 4 , 在对应的齐次线性方程 组 中, 取 2 x4 x3

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x2 1 0 x1 1 1 及 , 则 及 , x4 0 1 x3 0 2 即得对应的齐次线性方 程组的基础解系

1 1 1 , 0 0

1 0 2 , 2 1

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于是所求通解为

x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x 3 c1 0 c 2 2 1 2 , (c1 , c 2 R ). 0 1 0 x4