2014广州大学复变函数期末试卷习题三解答

习题三解答

1.沿下列路线计算积分∫

3+i0

z2dz。

（1）自原点到3+i的直线段

（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3+i；

x=3t,

0≤t≤1，故z=3t+it，0≤t≤1。dz=(3+i)dt 解（1） y=t,

于是 23+11

2zdz=∫0∫0(3t+it)(3+i)dt =(3+i)

3120

∫tdt

1113

=(3+i)3t3|=(3+i)

=033（2）∫

3+i

z2dz=

∫

3+i

z2dz+

∫

2

C1zdz+

∫

2

C2zdz。C1之参数方程为

x=3t,

(0≤t≤1)；C2之参数方程为 y=t,

x=3,

(0≤t≤1)

y=t,

故

∫

3+i

z2dz=

∫

1

9t2 3dt+

262

3+it idt=6+i。 ()∫0

1

3

2．计算积分C

（1）z=2；（2）z=4 dz的值，其中C为正向圆周：

z

4

，故有 z

解 （1）因在|z|=2上有|z|=2，z z=|z|2=4，从而有=

2dz==C|z||z|=22|z|=2z=4πi

（2）因在C上有|z|=4，z =|z|2=16，从而有=

16

，故有 z

dz=C|z|

16|z|=4

4

=

4

=8πi |z|=4z

3．利用观察法得出下列积分的值。

解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 4．沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1）（3）

C

ez

dz，C:|z 2|=1 z 2

（2）

v∫

v∫

C

C

dz

，C:|z a|=a

z2 a2

v∫

C

eizdz

，C:|z 2i|=3/2 z2+1

（4）

zdz

，C:|z|=2 z 3

（5）

v∫

C

z3coszdz，C为包围z＝0的闭曲线

（6）

dz

，C:|z|=3/2 22v∫C(z+1)(z+4)

sinz π

z

2

2

C

（7）dz，C:|z|=2

ezdz

（8）v∫Cz5，C:|z|=1

=2πe2i

解 （1）由Cauchy积分公式，dz

=

z2 a2C

C

ez

dz=2πiez

z 2

z=2

（2）

解1：解2：C

1

dz=2πi1z az+a

=

z=a

πa

i，

C

1πdz1 11 = dzdz=2i 0=i π[]Cz+a az2 a22a Cz a 2a

（3）由Cauchy积分公式，

v∫

C

eizdzeizdz/(z+i)eiz

=v=2πi2∫z+1Cz-iz+i

=π/e

z=i

（4）（5）由柯西基本定理知：其结果均为0

（6）因被积函数的奇点z=±i在C的内部，z=±2i在C的外部，故由复合闭路定理及Cauchy

积分公式有：

C

dzdzdz

=+ 11

(z2+1)(z2+4)|z i|=3(z2+1)(z2+4)|z+i|=3(z2+1)(z2+4)

1

z+iz+4dz+

z i

=1|z i|=

3

1|z+i|=

3

1

z+iz+4dz

z+i

=2πi

1

(z+i)(z2+4)

+2πi

z=i

1

(z i)(z2+4)

=

z= i

π

3

π

3

=0

（7）由高阶求导公式，sinz

C

π

z

2

2

dz=2πi(sinz)'

z=

π2

=0

ezdz2πiz(4)πi

(e)|==（8）由高阶求导公式，v z=0∫Cz54!12

5．计算下列各题：

1）2）

∫

1

0i

zsinzdz；

z

∫(z i)e

dz；

解

1）2）

∫

1

0i

zsinzdz=(sinz zcosz)|10=sin1 cos1

z

∫(z i)e

dz=(i 1 z)e z|i0=1 cos1+i(sin1 1)

6．计算积分：

cosz

dz,其中C1:|z|=2为正向，C2:|z|=3为负向 3∫vzC=C1+C2

解

coszcoszcosz2πi2πi= = dzdzdz(cosz)''|(cosz)''|z=0=0 z=0333∫∫∫vvvzzz2!2!C=C1+C2C1C

2

9．证明：u=x2 y2和v=

y

都是调和函数，但是u+iv不是解析函数。 22

x+y

证明

2xyx2 y2

ux=2x，uy= 2y，vx=2，vy=2，

(x+y2)2(x+y2)2

8x2y2y8y36y

= vxx=2v，，则 yy

(x+y2)3(x2+y2)2(x2+y2)3(x2+y2)2

8x2y8y38y

uxx+uyy=2+( 2)=0，vxx+vyy=2+ =0。 23223222

(x+y)(x+y)(x+y)

10．由下列各已知调和函数求解析函数f(z)=u+iv：

1）u=(x y)(x+4xy+y)； 3）u=2(x 1)y,f(2)= i；

2

2

2

22

2）v=

y

,f(2)=0；

x2+y2

y

,x>0。 x

4）v=arctan

2

解 1）ux=3x+6xy 3y,uy=3x 6xy 3y，则

f'(z)=ux iuy=3x2+6xy 3y2 i(3x2 6xy 3y2)=3(1 i)z2，故

f(z)=(1 i)z3+ic,c∈\；

2xyx2 y2x2 y2 2ixy1+===2）f'(z)=vy+ivx=2i，故

(x+y2)2(x2+y2)2(x2+y2)2(2z2

111

f(z)= +c,又f(2)=0，则f(z)= ；

z2z

f(z)= i(z 1)2+c,又f(2)= i，则f(z)= i(z 1)2；

xx iy1 y

i+===，故f(z)=lnz+c,c∈\。

x2+y2x2+y2x2+y2z

3）f'(z)=ux iuy=2y 2i(x 1)= 2i(x 1+iy)= 2i(z 1)，故

4）f'(z)=vy+ivx=