§ 4 不定积分习题与答案

不定积分习题与答案

第四章 不定积分

（Ａ）

１、求下列不定积分

１）dxdx ２）

x2

３） (x 2)2

dx

５） 2 3x 5 2x

3

x

dx

７）

(2ex

3x)dx

２、求下列不定积分（第一换元法）

１） (3 2x)3

dx ３）

sintt

dt

x2x４） x2

1 x

2

dx cos2xcos2xsin2xdx ８） (1 1

x

2)xxdx ２）

dx

3x

４）

dx

xlnxln(lnx)

６）

不定积分习题与答案

５）dxdx

６） cosxsinx

７） xcos(x2

)dx ９） sinxcos3x 11） dx2x2 1

13) sin2xcos3xdx

15) x3

9 x2

x 17)

102arccos x

2

ex e x ８） 3x3

1 x4

10） 1 x

9 4x2

12） cos3

xdx 14)

tan3

xsecxdx

16) 13cos2x 4sin2xdx18)

arctanx

x(1 x)

dx

不定积分习题与答案

3、求下列不定积分（第二换元法）

１） 1 ２） sinxdx

x

x

2

３）

x2 4x ５）

dx (x2

1)

3

７）

dx x

x

2

４、求下列不定积分（分部积分法） １） xsinxdx

３） x2

lnxdx

x2

a2 x

2dx,(a 0) ６）

dx1

2x

８）

dx1

x

2

２）

arcsinxdx ４）

e

2x

sinx

2

４）

不定积分习题与答案

22

５）xarctanxdx ６）xcosxdx

2

７）lnxdx ８）

x2cos2

xdx 2

５、求下列不定积分（有理函数积分）

x3

dx １） x 3

２） 3）

2x 3

x2 3x 10dx

dx

x(x2 1)

（Ｂ） １、

一曲线通过点(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲

2

线的方程。

２、

已知一个函数F(x)的导函数为

1 x2

，且当x 1时函数值为 ，试求此函数。

3

2

不定积分习题与答案

３、

证明：若

f(x)dx F(x) c，则

f(ax b)dx 1

a

F(ax b) c,(a 0)。

４、 设f(x)的一个原函数为

sinx

x

，求 xf (x)dx。

５、

求下列不定积分

１）

cos2

x

2

２） sin2xdx

1３）

x

1 x2dx ４） x1 x1 x

dx ５） dx

(x2 a2)(x2 b2) ６） xx2a xdx

不定积分习题与答案

7）

lnxdx 8）

xearctanxdx

x

lnx

１、求以下积分

x１）

xeex 1

dx ３） arctanexe2x

５） x5 x

x8

1

3(1 x2)

2

（Ｃ）

2)

dx

sin(2x) 2sinx

４） x5

x3 1

６） sinxcosxsinx cosxdx第四章 不定积分 习 题 答 案

（Ａ）

不定积分习题与答案

3

１、（１） 1x c （２） 2

3

x2 c

（３）

13

x3

2x2 4x c （４）x arctanx c 5(2)x

（５）2x ln2 ln3

c （６） (cotx tanx) c 2（７）2ex

3lnx c （８）

4(x 7)7x

c

２、（１） 18(3 2x)4

c （２） 12

2

(2 3x)3 c

（３） 2cos c （４）lnlnlnx c （５）lntanx c （６）arctanex

c

（7）

12sin(x2) c （８） 3

4ln x4 c （9）12cos2

x

c (10)12arcsin2x3 1

49 4x2 c (11)

1

ln2x 1

222x 1

c (12)sinx sin3x

3 c (13)

12cosx 110cos5x c (14)1

3sec3x secx c (15)

12x2 92ln(9 x2) c (16)1223

c (17)

102arccosx

c (18)x)22ln10

c 3、(1)lncsct cott c （2） 2(xcosx sinx) c

（3）2(tanx2 42 2

x

) c

(4)a22(arcsinxa xa

2a2 x2) c

(5)

x x

2

c (6)2x ln(1 2x) c

不定积分习题与答案

(7)

1x(arcsinx lnx x2) c (8)arcsinx c

221 x

4、(1) xcosx sinx c (2)xarcsinx x2 c

1312xx

xlnx x3 c (4) e 2x(cos 4sin) c 391722131212

(5)xarctanx x ln(1 x) c 366

(3)

(6)xsinx 2xcosx 2sinx c （7）xlnx 2xlnx 2x c

22

1312

x xsinx xcosx sinx c 621332

5、(1)x x 9x 27lnx 3 c (2)lnx 2 lnx 5 c

32

12

(3)lnx ln(x 1) c

21112

(4) lnx lnx ln(x 1) arctanx c

242

(8)

1x2 12x 1

(5) ln2 c

2x x 133

(B)

112

1、 设曲线y f(x)，由导数的几何意义：y ， lnx c，点(e,3)代入即可。

xx

2、 设函数为F(x)，由F (x) f(x)

1 x

2

，得

3

F(x) f(x)dx arcsinx C，代入(1, )即可解出C。

2

3、 由假设得F (x) f(x), F (ax b) f(ax b)，故

11

[F(ax b)] F (ax b), f(ax b)dx F(ax b) c。 aa

４、把f (x)凑微分后用分部积分法。

x1 cosx

22

（２）注意cosx sinx 0或cosx sinx 0两种情况。

11

dx d(arccotx)。 （３）利用arctan arccotx,2

x1 x

５、（１）用倍角公式：cos

2

（４）先分子有理化，在分开作三角代换。

不定积分习题与答案

（５）化为部分分式之和后积分。 （６）可令x 2asint。

2

（７）可令x a (b a)sin2t,则b x (b a)cos2t。 （８）令 lnx t。 （９）分部积分后移项，整理。 （１０）凑e

arctanx

后分部积分，再移项，整理。

（１１）令tan

x

2

t。 （１２）变形为

dxx 3

后，令

x 3

(x 2

t， x 2

x 2)4

再由1

1x 2 t2，两端微分得1

(x 2)2

dx 2tdt。

（Ｃ）

1） 解：令u ex 1，则x ln(1 u2

),dx

2u

1 u

2

du 2 ln(1 u2

)du 2uln(1 u2) 4u2

所以原式 …… 此处隐藏：1671字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……