经济数学微积分 第二章第2节

微积分 经济数学教学PPT

第二节

函数的极限

一、函数极限的定义二、函数极限的性质

三、小结

思考题

微积分 经济数学教学PPT

一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。 下面，我们将主要研究以下两种情形：

(1)自变量 x 任意接近于有限值 x0 ( x x0 ) , 对应的函数值 f ( x ) 的变化情形 ；

( 2)自变量 x 的绝对值 x 无限增大 ( x ) , 对应的函数值 f ( x ) 的变化情形 ；

微积分 经济数学教学PPT

1.自变量趋于有限值时函数的极限问题:函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.

f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;0 x x 0 表示x x 0的过程.

x0 点x 0的去心 邻域,

x0x0 x 体现x接近x 0 程度.

微积分 经济数学教学PPT

①定义 1 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数

,使得当 x 满足不等式 0 x x 0 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足

不等式 f ( x ) A ,那么常数 A 就叫函数

f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作x x0

lim f ( x ) A 或

f ( x ) A(当 x x 0 )

" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,

恒有 f ( x ) A .

微积分 经济数学教学PPT

1 注意： .函数极限与f ( x )在点x 0是否有定义无关;

2. 与任意给定的正数 有关.②几何解释:当 x 在 x0 的去心 邻 域时, 函数 y f ( x ) 图形完全落在以直 线 y A 为中心线,0

y

y f (x)

A A A

x0 x x 宽为 2 的带形区域内. o 显然, 并不唯一, 也不需要取到最大的 .0

x

微积分 经济数学教学PPT

例2 证明 lim C C , (C为常数).x x0

证 任给 0, 任取 0, 当0 x x 0 时,f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x0

例3

证明 lim x x 0 .x x0

证 f ( x ) A x x 0 , 任给 0, 取 ,当0 x x 0 时,

f ( x ) A x x 0 成立,

lim x x 0 .x x0

微积分 经济数学教学PPT

x 1 例4 证明 lim 2. x 1 x 12

证

函数在点x=1处没有定义.任给 0,

x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1要使 f ( x ) A ,只要取 ,

x 1 lim 2. x 1 x 12

x2 1 当0 x x 0 时, 就有 2 , x 1

微积分 经济数学教学PPT

例5

证明 : 当x0 0时, lim

x x0

x

x0 .

证 f ( x) A

x x0

x x0 x x0 , x x0 x0

任给 0, 要使 f ( x ) A ,只要 x x 0 x 0 且不取负值. 取 min{ x 0 , x 0 },

当0 x x 0 时, 就有 x

x 0 ,

lim

x x0

x

x0 .

微积分 经济数学教学PPT

3.单侧极限(one-sided l

imit): 1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.x 0

例如,

x 0 x 0

y y 1 x

1

y x2 1

o

x

分x 0和x 0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近x 0 , 记作x x0 ; x从右侧无限趋近x 0 , 记作x x0 ;

微积分 经济数学教学PPT

左极限

0, 0, 使当x 0 x x 0时, 恒有 f ( x ) A . (left-hand limit)f ( x0 ) A.

记作 lim f ( x ) A 或x x0

右极限 0, 0, 使当x0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A . (right-hand limit)

记作 lim f ( x ) A 或x x0

f ( x0 ) A.

注意 : { x 0 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0}

微积分 经济数学教学PPT

定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 ) f ( x 0 ) A.x x0

x 例6 验证 lim 不存在. x 0 xx x lim lim 证 x 0 x 0 x x

y

1ox

lim ( 1) 1 x 0

1

x x lim lim lim 1 1 x 0 x x 0 x x 0 左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.x 0

微积分 经济数学教学PPT

2. 自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x

播放

微积分 经济数学教学PPT

问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.

通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.

f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.

微积分 经济数学教学PPT

①定义 2

设函数 f ( x ) 当 x 大于某一正数时有

定义，对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 X ,使得当 x 满足不等式 x X 时， 对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A , 那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限, 记作 lim f ( x ) A 或x

f ( x ) A(当x )

" X " 定义 lim f ( x ) A x

0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .

微积分 经济数学教学PPT

2. 另两种情形:10 . x 情形 : lim f ( x ) A x

0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .

2 . x 情形 : lim f ( x ) A 0x

0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .lim lim 定理 : lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.x

微积分 经济数学教学PPT

3. 几何解释:y A A A

sin x x

X

X

当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2 的带形区域内.