2015高考数学(理)一轮课件：7-2一元二次不等式及其解法

第2讲

一元二次不等式及其解法

知识梳理

1.一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不 等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0). (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根.

(4) 利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.

2.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2 -4ac 二次函数y= ax2+bx+c (a >0)的图象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

续表判别式Δ= b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 没有实 数根

一元二次方 程ax2+bx+ 有两相异实根 有两相等实根 b c=0(a>0) x1,x2(x1<x2) x1=x2=-2a 的根 ax2+bx+c b >0(a>0)的 {x|x>x2或x<x1} x|x≠- 2a 解集 ax2+bx+c <0(a>0)的 {x|x1<x<x2} 解集

R

辨析感悟

1.对一元二次不等式的解法的理解(1)( 教材习题改编 ) 不等式- x2 - 5x + 6 < 0 的解集为 {x|x <- 6,或x>1}. (√)

(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. (√)

(3)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2. +c>0的解集为R. (√) (4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx (×)

2.对一元二次不等式恒成立问题的认识 (5)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ= b2-4ac≤0.2

(×)

1 (6)若关于 x 的不等式 ax +x-1≤0 的解集为 R,则 a≤-4. (√) (7)若不等式 x +ax+1≥0 对 5 为-2.2

1 x∈ 0,2 恒成立， 则

a 的最小值 (√)

[感悟·提升]三个防范 一是当Δ<0时，不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解

集为R还是 ,要注意区别，如(4)中当a>0时，解集为R;当 a<0时，解集为 . 二是对于不等式ax2+bx+c>0求解时不要忘记讨论a=0时的

情形，如(5)中当a=b=0,c≤0时，不等式ax2+bx+c≤0在R上也是恒成立的. 三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对 根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进 行分类讨论，分类要不重不漏.

考点一 一元二次不等式的解法

【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式 f(x) > 0 的解集是 ( - 1,3) ,则不等式 f( - 2x) < 0 的解集是 ________.

解析

由 f(x)>0,得 ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3), 1 解得 a=-1 或3,

1-ab a =2, ∴a<0.且 -b=-3, a

∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3, ∴f(-2x)=-4x2-4x+3, 由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0, 1 3 解得 x>2或 x<-2.

答案

3 1 -∞,- ∪ ,+∞ 2 2

规律方法 解一元二次不等式时，当

二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应 二次函数的图象写出不等式的解集.

1 2 【训练 1】 (2013· 江西卷改编)使不等式 x<x <x 成立的 x 的取值 范围是________.

解析 当 x>0 时，原不等式可化为 x2<1<x3,解得 x∈ ,当 x<02 x >1, 时，原不等式可化为 3 x <1,

解得 x<-1.

答案 (-∞,-1)

考点二 含参数的一元二次不等式的解法【 例 2】 (2013· 烟 台 期 末 ) 解 关 于 x 的 不 等 式 ： ax2 - 2≥2x - ax(a∈R).

解 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0. ①当 a=0 时，原不等式化为 x+1≤0,解得 x≤-1. ②当 a>0 -1. 2 时， 原不等式化为 x-a (x+1)≥0, 解得

2 x≥a或 x≤

③当 a<0

2 时，原不等式化为 x-a (x+1)≤0.

2 2 当a>-1,即 a<-2 时，解得-1≤x≤a; 2 当a=-1,即 a=-2 时，解得 x=-1 满足题意； 2 2 当a<-1,即 a>-2,解得a≤x≤-1. 综上所述，当 a=0 时，不等式的解集为{x|x≤-1};当 a>0 时， 2 不等式的解集为 x x≥a,或x≤-1 2 的解集为 x a≤x≤-1 ;当 ;当-2<a<0

时，不等式

a=-2 时，不等式的解集为{x|x= .

-1};当 a<-2

2 时，不等式的解集为 x -1≤x≤a

规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0,等于0,还是大于0,然 后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的 关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定解集形式.

【 训 练 2】 (1)(2013· 重 庆 卷 改 编 ) 关 于 x 的 不 等 式 x2 - 2ax -8a2<0(a>0) 的 解 集 为 (x1 , x2) , 且 x2 - x1 = 15 , 则 a 等 于 ________. (2)解关于x的不等式(1-ax)2<1.

(1)解析 法一

∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2),∴

x1,x2 是方程 x2-2ax-8a2=0 的两根. x1+x2=2a, 由根与系数的关系知 2 x x =- 8 a , 1 2

∴x2-x1= x1+x2 2-4x1x2= 2a 2-4 -8a2 =15,又∵a>0, 5 ∴a=2.