高中数学必修二第三章 直线与方程导学案及课后作业加答案

§3.1.1 倾斜角与斜率

【学习要求】

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；

2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；

3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

【学法指导】

通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.

【知识要点】

1．倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们取l角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.

2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即 .

3

【问题探究】

[问题情境]

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率． 探究点一 直线的倾斜角及斜率的概念

问题1 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？

问题2 怎样描述直线的倾斜程度呢？

问题3 依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？

问题4 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？ 问题5 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

问题6 如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比

)”，那么“坡度

(比)”等于什么呢？

小结 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．

探究点二 直线的斜率公式

导引 有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？

问题1 如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？

图1 图2

问题2 设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？ 问题3 根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？ 问题4 当PPy2－y1

21的方向向上时，tan α＝x成立吗？为什么？

2－x1

问题5 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 小结 经过两点Py－y1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式kx2－x1

.

例1 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是

锐角还是钝角．

小结 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．

跟踪训练1 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． （1）(1,1)，(2,4)； （2）(－3,5)，(0,2)；

（3）(2,3)，(2,5)； （4）(3，－2)，(6，－2)．

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4.

小结 已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点． 跟踪训练2 已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______

【当堂检测】

1．对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是 ( ) A．1

B．2 C．3 D．4 2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于 ( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于( ) A．1 B．－1 C．0 D．7

【课堂小结】

1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．

2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.

【课后作业】

一、基础过关 1．下列说法中：

①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的个数是

( ) A．0

B．1

C．2

D．3

2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为

( )

A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3 C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3

3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( ) A．－3

B．0

C3

D．23

4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是

( )

A．[0°，90°]

B．[90°，180°) C．[90°，180°)或α＝0°

D．[90°，135°]

5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________． 6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．

7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．

8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标． 二、能力提升

9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 ( ) A．α＋45°

B．α－135° C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则

( )

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

11．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．

12．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所

在直线的斜率．

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝logx＋1)，a>b>c>0，试比较f a f b f c

2(a，bc

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【学习要求】

1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；

2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直； …… 此处隐藏：34045字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……