同济版线性代数课件

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一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

1 2

1 a22 : 2 a12 :

a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,

两式相减消去 x2,得

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(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 ;

类似地，消去 x1,得 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 b1a21 ,当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为

b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21由方程组的四个系数确定.

(3)

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定义

由四个数排成二行二列(横排称行、竖排

称列)的数表

a11 a12 a21 a22 ( 4)

表达式 a11a22 a12a21称为数表( 4)所确定的二阶 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22即

( 5)

a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22

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二阶行列式的计算主对角线 副对角线

对角线法则 a11a22 a12a21 .

a11 a12

a12

a22

a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .若记 系数行列式

a11 a12 D , a21 a22

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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .a11 a12 D , a21 a22

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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .b1 D1 b2 a12 , a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .a11 a12 D , a21 a22

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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .b1 D1 b2 a12 , a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .a11 b1 D2 . a21 b2

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则二元线性方程组的解为

b1

a12

a11

b1

D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22注意

D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22

分母都为原方程组的系数行列式.

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例1 求解二元线性方程组

3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.解

D

3 2 2 1 1

3 ( 4) 7 0,

D1

12 2 1

14, D2

3 12 2 1

21,

D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7

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二、三阶行列式定义

设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)

记 a11

a31 a32

a21 a31

a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33

(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.

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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .

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(2)对角线法则 a11 a12

a13 a23 a33

a21 a22 a31 a32

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号.说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

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2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列

的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3

a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33

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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33

若记

或

b1 b2 b 1

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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33

记

即