实变函数与泛函分析基础课件4-3

实变函数与泛函分析基础课件

第四章 可测函数第三节 可测函数的构造

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可测函数 可测集E上的连续函数为可测函数。 可测集 上的连续函数为可测函数。 上的连续函数为可测函数 简单函数是可测函数。 简单函数是可测函数。 是可测函数 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。 极限

问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ 可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ 极限

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鲁津定理上几乎处处有限的可测函数， 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 ε > 0, 闭集F E, 为 上几乎处处有限的可测函数 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 且 在 上连续。 上连续 (去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数) 去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数) 即：可测函数“基本上”是连续函数. 可测函数“基本上”是连续函数

实变函数的三条原理( 实变函数的三条原理(J.E.Littlewood) ) 可测集差不多就是开集 开区间的并 (1)任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并)。 )任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并)。 点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。 (2)任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。 )任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列 可测函数差不多就是连续函数。 (3)任一可测函数差不多就是连续函数。 )任一可测函数差不多就是连续函数

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引理： 引理：

设E = ∪ Ei , {Ei }两两不交的闭集族.若f k : Ek → R为连续函数，i =1

n

令f ( x) = f k ( x) : x ∈ Ek,则f ( x): Ek → R上的连续函数。 ∪k =1

n

证明：取x0 ∈ ∪ Ek , ε > 0,k =1

n

由于 k0 ∈ N , 使得：x0 ∈ k0,而f k0 在Ek 0上为连续的， 对此ε, δ1 > 0, 使得： x ∈ U ( x0 , δ1) Ek 0,必有 | f k 0 ( x) f ( x0 ) |< ε . ∩ 又令δ 2 = min{d( x0 , Ek ) : k ≠ k0 }, 则，δ 2 > 0. 令δ = min{δ1 , δ 2 }. 则 x ∈ U ( x0 , δ) E U ( x0 , δ1) Ek 0, ∩ ∩ 必有 | f ( x) f ( x0 ) |=| f k 0 ( x) f ( x0 ) |< ε . 故，f ( x)在x0处连续。 注1:另证：由于x0 ∪ Ek , x0为开集( ∪ Ek ) c 的内点，k =1, k ≠ k0 k =1, k ≠ k0 n n

δ 2 > 0,使得：U ( x0 , δ 2) ( ∪ Ek ) ,即：U ( x0 , δ 2) ∪ Ek = φ。 ∩c

n

n

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注2:类似结果：设E = ∪ Ei ,{Ei }两两不交的集族，且 ∪ Ek 均为闭集(j = 1,2, ).i =1 k =1, k≠ j

∞

∞

若f k : Ek → R为连续函数，令f ( x) = f k ( x) : x ∈ Ek,则f ( x): Ek → R上的连续函数。 ∪k =1

∞

事实上，由于x0 ∪ Ek , x0为开集( ∪ Ek ) c的内点，k =1, k ≠ k0 k =1, k ≠ k0 c

∞

∞

δ 2 > 0,使得：U ( x0 , δ 2) ( ∪ Ek ) ,即：U ( x0 , δ 2) ∪ Ek = φ。 ∩k =1, k ≠ k0 k =1, k ≠ k0

∞

∞

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上几乎处处有限的可测函数， 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 ε > 0, 闭集F E, 为 上几乎处处有限的可测函数 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 且 上连续。 上连续

鲁津定理(Lusin) 鲁津定理(Lusin)

证明：由于 故不妨令f(x)为有限函数 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ,故不妨令 为有限函数

(1) 当f(x)为简单函数时， 为简单函数时令 f ( x) =

∑cχi =1 i

n

Ei

( x ) ( 其中 E = ∪ E i , E i 可测且两两不交)i =1

n

ε > 0, 及每个Ei,作Ei中的闭子集Fi,使m( Ei Fi ) < ε n

(i = 1,2, , n

当x∈Ei时，f(x)=ci,所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两 所以f(x)在 上连续， 两不交闭集，故f(x)在 F 两不交闭集， f(x)在 且有n n i =1 i =1

= ∪ Fii=1

n

上连续，显然F为闭集， 上连续，显然F为闭集，

m ( ∪ E i ∪ Fi ) ≤ m ( ∪ ( E i Fi )) ≤i =1

n

∑ m(Ei =1

n

i

Fi ) <

∑εi =1

n

n

=ε

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(2)当f(x)为有界可测函数时， 当 可测函数时 为有界可测函数 存在简单函数 简单函数列 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x), 上一致收敛于 ， 利用(1)的结果知 利用 的结果知 ε > 0 , 及每个 φ n ( x ),存在闭集 Fn E , 使 m ( E Fn ) <∞

ε2n

且 φ n ( x ) 在 Fn 上连续

令 F = ∩ Fn,则 F E ,且 m ( E F ) ≤n =1

∑ m(E Fn =1

∞

n

)<

∑

∞

ε2n

=ε

n =1

连续及 由{φn(x)} 在F连续及一致收敛于f (x) , 连续 一致收敛于 易知f(x)在闭集 上连续。 在闭集F 易知f(x)在闭集F上连续。

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(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换 当 为一般可测函数 为一般可测函数时

f ( x) g ( x) = 1+ | f ( x) |

g ( x) ( f ( x) = ) 1 | g ( x) |

为有界可测函数， 即得： 则 g(x)为有界可测函数，应用 即得： 为有界可测函数 应用(2)即得g(x)为E上几乎处处有限可测函数 则 ε > 0, 闭集F E, 为 上几乎处处有限可测函数 上几乎处处有限可测函数,则 上连续。 使得 m(E-F)<ε且g(x)在F上连续。 且 在 上连续

上为连续函数。 故，f(x)在F上为连续函数。 在 上为连续函数

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注1:鲁津定理另外一种形式： 鲁津定理另外一种形式： 上几乎处处有限的可测函数， 若f(x)为 E R 上几乎处处有限的可测函数， 为 则 ε > 0, 闭集F E,及R上的连续函数 上的连续函数g(x) 上的连续函数 使得在 上 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε, 且 ， 且sup {g(x) |x∈R}= sup{ f(x) |x∈F}; ∈ ;

inf {g(x) |x∈R}= inf{ f(x) |x∈F}; ∈ ∈ ;维空间也成立) (对n维空间也成立) 维空间也成立 由鲁津定理： 【分】由鲁津定理： f(x)为 E R 上几乎处处

有限可测， 上几乎处处有限可测， 若 为 则 ε > 0, 闭集F E,且f(x)在F上连续。 在 上连续。

即可。 下面只需将f(x)延拓为 上的连续函数 延拓为R上的连续函数g(x)即可。 即可 延拓为 上的连续函数

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由于F 上的开集， 上开集构造， 由于 C为R上的开集，根据 上开集构造， 上的开集 根据R上开集构造 FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的 开区间的并 F 的并： 开区间的并： c = ∪(ai , bi ) 。i

bi

ai

bi

ai

当x ∈ F , f ( x), ) f (ai ) + f (bi ) f (ai (x ai ),当x ∈ (ai , bi ), ai , bi 有限, bi ai g ( x) = , f (a ), 当x ∈ (ai , bi ), bi = +∞, i f (bi ), 当x ∈ (ai , bi ), ai = ∞.

满足要求， 上连续.( ) 则g(x)满足要求，且在 上连续 (参见课本 满足要求 且在R上连续 参见课本p91)

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