弦切角、相交弦、切割线教学设计

弦切角、相交弦、切割线等定理的教学设计及典型例题分析

弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理

一、弦切角

1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切

2、弦切角定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

推论1：弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例题解析：

例1、如图2，已知PA与⊙O切于点A，PO交⊙O于点B，AB＝BP，求∠P的度数。

例2、如图3（1），已知AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，CD切⊙O于D，DE⊥

2

AB于E。求证：∠1＝∠

例3、已知AB是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠TAB＝110°，点C在圆周上，但与A、B两点不重合，求∠ACB的度数。

第 1 页共6 页

弦切角、相交弦、切割线等定理的教学设计及典型例题分析

第 2 页 共 6 页 二、相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB 、CD 交于点P

∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言：∵AB 是直径，CD⊥AB 于点P

∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

例1、已知：如图，AB 是圆O 的弦，P 是AB 上的一点，AB=8.5cm ，OP=3cm ，

PA=6cm ，求圆O 的半径。

例2、已知：如图，P 是圆O 内的一点，AB 是过点

P 的一条弦。设圆的半径为r,OP=d

求证：PA*PB=

练习题：

1、如图：在⊙O 中，P 是弦AB 上一点，OP ⊥PC ，PC 交⊙O 于C ． 求证：PC2＝PA·PB

三、切割线定理：

如图:PA 切⊙O 于A,PBC,PDE 是过P 点的两

条割线,连结AE 交PC 于F,用数学式子表示上

述定理:(1)相交弦定理 ,(2)切

割线定理 ,(3)割线定理 . d

r PB PA 22-=?

弦切角、相交弦、切割线等定理的教学设计及典型例题分析

第 3 页 共 6 页 例1、已知：如图，过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM ，M 为切点。BO 交圆O 于点过点A 作

BO 的垂线，交BM 于点P 。BO ＝3，圆O 的半径为1．求：MP 的长。

例2、已知直径AB ⊥弦CD 于M ，过C 作直线CP ∥AB ，交DB 的延长线于P ，PE 切⊙O

于E ，过B 的弦交CD 于F ，交⊙O 于G 。 求证：PE 2 = 2 BF×BG

例3、AB 是⊙O 内过点P 的一条弦，已知⊙O 的半径为3，且PA ＝22，PB ＝2，求PO 的长。

例4、如图5（1），已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A ＝28°。

（1）求∠ACM 的度数；

（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD ＝AC ·BC ，为什么？

弦切角、相交弦、切割线等定理的教学设计及典型例题分析

第 4 页 共 6 页 例5、如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，O 是BC 上一点，以O 为为圆心，OB 长为半径的圆与

AC 相切于点A ，过点C 作CD ⊥BA ，垂足为D ，（1）求证：∠CAD ＝2∠B ；（2）求证：CA 2=CD ·CO 。

例6、ADC 和AEB 都是⊙O 的割线，AP 切⊙O 于点P ，AD=4，DE=2，AE=3，AP=6，求BC 的长。

例7、以Rt ⊿ABC 的直角边AB 为直径作半圆O ，交斜边BC 与点D ，过D 点作半圆O 的切线

DE 交AC 于点E 。

① 求证：OE ⊥AD ；

② 如果 DE=

132

3，BD=4，求BC 的长

B

例8、如图，已知PA 切⊙O 于A ，割线PCD 交⊙O 于C 、D ，弦AB ⊥PC 交PD 于E ，且AE ＝EC ，∠=?APD 30，若⊙

O

的半径长为3，求弦AB 的长及S ABC ?。

弦切角、相交弦、切割线等定理的教学设计及典型例题分析

练习题：

1、如图，割线PAB过O，PC切⊙O于C，若PC=7

2，PB=14，则点

PB的距离CD是_______。

2、PC是半圆O的切线，PB=OB，过B的切线交PC

于D，且PC=6，则⊙O的半径等于

3、在⊿

ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心的⊙A与BC

分成4cm和3cm的两段，则S⊿ABC=

4、直线AB切⊙O于C，DE是⊙O的直径，EF⊥AB于F，DC的延长线与EF的延长线交

于G，∠G=56°，则∠E= 度

5、如图:⊙O的弦AB,CD相交于P,PA=4,PB=3,PC=6,EA切⊙O于点A,AE与CD的延长交于点

E,AE=2 ,求PE的长?

6、如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。

B

第 5 页共6 页

弦切角、相交弦、切割线等定理的教学设计及典型例题分析

第 6 页共6 页