考研数学一历年真题完整版

2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

?

=_____________.

(2)曲面2

2

2

2321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.

(4)已知方程组12312

112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????

无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1

9

,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当

a x

b <<时,有

(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >

(C)()()()()f x g x f b g b >

(D)()()()()f x g x f a g a >

(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1

4S

S xdS xdS =????

(B)1

4S

S ydS xdS =????

(C)

1

4S

S zdS xdS =????

(D)

1

4S

S xyzdS xyzdS =????

(3)设级数

1

n

n u

∞

=∑收敛,则必收敛的级数为

(A)1

(1)n

n n u

n ∞

=-∑

(B)

2

1n

n u

∞

=∑

(C)

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑

(D)

11

()n

n n u

u ∞

+=+∑

(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为

(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示

(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价 (D)矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价

(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为

(A)()()E X E Y =

(B)2

2

2

2

()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-

(C)2

2

()()E X E Y =

(D)22

2

2

()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+

三、(本题满分6分)

求142e sin lim(

).1e

x

x x

x

x

→∞

++

+

四、(本题满分5分)

设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z

x y

???

五、(本题满分6分)

计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+?Ñ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有

2()()e

0,x S xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=??Ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶

导数,且0

lim ()1,x f x +→=求()f x .

七、(本题满分6分)

求幂级数113(2)n n n n x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数()f x 在[0,]π上连续,且00()0,()cos 0.f x dx f x xdx π

π

==??试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==

十、(本题满分6分)

设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308??????=????-??

A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵

B .

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16

熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向

量.n n x y ?? ???

(1)求11n n x y ++?? ???与n n x y ?? ???的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????= ? ?????

A (2)验证1241,11-????== ? ?????

ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ??

???= ? ? ??? ???

时,求11.n n x y ++?? ???

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .

十三、(本题满分6分)

设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0

x x f x x θθθθ-->?=?≤?,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)222z y x r ++=,则(1,2,2)p(grad )r -= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:??--0

112),(y dx y x f dy ＝_____________.

(4)设24+-=A A E O ,则1

(2)--A E = _____________.

(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为

(A) (B)

(C) (D)

(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则

(A)(0,0)|3dz dx dy =+

(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线

(,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}

(D)曲线 (,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}

(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导?

(A)20(1cos )

lim h f h h

→-存在

(B) 0(1e )

lim h h f h

→-存在

(C)2

(sin )

lim

h f h h h →-存在

(D)h

h f h f h )

()2(lim

-→存在

(4)设11114

001

1110

000,1111000011110

0????

?

?

?

?== ? ? ?

?????

A B ,则A 与B (A) …… 此处隐藏：5188字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……