4.2 用数学归纳法证明不等式 课件(人教A选修4-5)

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1.利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学 归纳法是常用的方法之一.在运用数学归纳法证明不 等式时，由n=k成立，推导n=k+1成立时，常常要 与其他方法，如 比较法 、分析法 、综合法、 放缩法 等

结合进行.

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2.归纳—猜想—证明的思想方法

数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中.一方面 可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更 重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律 数学归纳法 并用 证明其正确性，形成“观察—归纳—

猜想—证明”的思想方法.

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[例 1]

证明：2n+2>n2,n∈N+.

[思路点拨] 验证n=1,2,3 假设n=k成立， n=k+1成 ―→ ―→ 时，不等式成立 推证n=k+1 立，结论得证[证明] (1)当n=1时，左边=21+2=4;右边=1,

左边>右边；当n=2时，左=22+2=6,右=22=4,所以左边>右边； 当n=3时，左=23+2=10,右=32=9,所以左边>右边. 因此当n=1,2,3时，不等式成立.

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(2)假设当n=k(k≥3且k∈N+)时，不等式成立.

当n=k+1时，2k+1+2 =2·k+2 2 =2(2k+2)-2>2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3

=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因k≥3,则k-3≥0,k+1>0)≥k2+2k+1=(k+1)2. 所以2k+1+2>(k+1)2.故当n=k+1时，原不等式也成立. 根据(1)(2),原不等式对于任何n∈N都成立.

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利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n= k到n=k+1的变形.为满足题目的要求，常常要采用

“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明.

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1 1 1 5 1.用数学归纳法证明： + +…+ > (n≥ 3n 6 n+1 n+2 2,n∈N+)1 1 1 1 5 证明：(1)当 n=2 时，左边= + + + > ,不等式 3 4 5 6 6 成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时，不等式成立.即 1 1 1 5 + +…+ > .当 n=k+1 时， 3k 6 k+1 k+2

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1 1 1 1 1 + +…+ + + + 3k k+1 +1 k+1 +2 3k+1 3k+2 1 5 1 1 1 1 5 > +( + + - )> + 3 k+1 6 3k+1 3k+2 3k+3 k+1 6 1 1 5 (3× - )= . 3k+3 k+1 6 ∴当 n=k+1 时，不等式也成立. 由(1)(2)知，原不等式对一切 n≥2,n∈N+均成立.

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2.用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1+ 2+ 2+…+ 2<2-n(n≥2,n∈N+). 2 3 n 1 5 1 3 证明：(1)当 n=2 时，1+ 2= <2- = ,不等式成立. 2 4 2 2

1 (2)假设当 n=k(k≥2, k∈N+)时不等式成立， 1+ 2+ 即 2 1 1 1 +…+ 2<2- , k 32 k 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时，1+ 2+ 2+…+ 2+ <2- + k 2 3 k k+1 2 1 1 1 1 1 1 1 <2- + =2- + - =2- ,不 k k k+1 k k k+1 k+1 2 k+1 等式成立. 由(1)、(2)

知原不等式在 n≥2,n∈N+时均成立.

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n n-1 2 3. Pn=(1+x) , n=1+nx+ 设 Q x, n∈N+, x∈(- 2n

1,+∞),试比较 Pn 与 Qn 的大小，并加以证明.解：(1)当 n=1,2 时，Pn=Qn. (2)当 n≥3 时，(以下再对 x 进行分类). ①若 x∈(0,+∞),显然有 Pn>Qn. ②若 x=0,则 Pn=Qn. ③若 x∈(-1,0), 则 P3-Q3=x3<0,所以 P3<Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以 P4<Q4.

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假设 Pk<Qk(k≥3), 则 Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk k k-1 x2 k k-1 x3 =1+kx+ +x+kx2+ 2 2 k k+1 2 k k-1 3 =1+(k+1)x+ x+ x 2 2 k k-1 3 =Qk+1+ x <Qk+1, 2 即当 n=k+1 时，不等式成立. 所以当 n≥3,且 x∈(-1,0)时，Pn<Qn.

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[例2]

设f(n)>0(n∈N+),对任意自然数n1和n2总有

f(n1+n2)=f(n1)f(n2),又f(2)=4.

(1)求f(1),f(3)的值.(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想. [思路点拨] 利用f(n1+n2)=f(n1)f(n2)可求出f(1),f(3)

再猜想f(n),利用数学归纳法给出证明.

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[解] (1)由于对任意自然数n1和n2,总有f(n1+n2)=f(n1)· 2). f(n 取n1=n2=1,得f(2)=f(1)· f(1),即f2(1)=4.

∵f(n)>0(n∈N+),∴f(1)=2. 取n1=1,n2=2,得f(3)=23.

(2)由f(1)=21,f(2)=4=22,f(3)=23,猜想f(n)=2n. 证明：①当n=1时f(1)=2成立；

②假设n=k时，f(k)=2k成立.f(k+1)=f(k)· f(1)=2k· k+1, 2=2 这就是说当n=k+1时，猜想也成立.

由①②知猜想正确，即f(n)=2n.

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利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明.即先通过观察部 分项的特点.进行归纳，判断并猜想出一般结论， 然后用数学归纳法进行证明.

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4.在数列{an}、{bn}中，a1=2,b1=4,且an、bn、an+1 成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列(n∈N+). (1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测{an}、{bn}

的通项公式；(2)证明你的结论. 解：(1)由条件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1. 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4 =25.

猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.

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(2)用数学归纳法证明：①当n=1时，由上知结论成立.

②假设当n=k时，结论成立.即ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当n=k+1时，ak+1=2bk-ak= 2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2). a2+1 bk+1= k =(k+2)2. bk 所以当n=k+1时， 结论也成立. 由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都 成立.