第十一章动量矩定理习题解答

理论力学课后习题答案详细解答

习 题

11-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：x acos t,y bsin2 t。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

a sin t vy y 2b co2vx xs t

LO mvxy mvyx

m(a sin t bsin2 t 2b cos2 t acos t)

mab (sin t sin2 t 2cos2 t cos t)

ma b(si nt 2sin tco st 2co2s t co st)

2ma bco st(si2n t co2s t)

2mab cos3 t

11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为 ，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

22 Jz 2m (lsin )2 2ml2sin Lz 2m l2sin (2)

lm282Jz杆 2 (xsin )2dx ml2sin2 Jz ml2sin 0l33

8Lz m l2sin2 3

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。

图11-26

12ml 3

1l11(b) JO ml2 m()2 ml2 LO ml2 12699

1m21m255(c) JO l l ml2 LO ml2 122322424

133(d) JO mR2 mR2 mR2 LO mR2 222

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 (a) LO

图11-27

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面密度为 A 2m bh

y2m2my2m在y处 by b dm AdA by dy b dy 2ydy bhbhhhh

微小区域对于z轴的转动惯量

dJz (h y)2dm

Jz

h2my(h y)2dy 2h02m2mh22122321y(h y)dy (hy 2hy y)dy 2mh( ) h2h2 02341mh2 6

11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28

1 1l Jz ml2 m(h)2 3 h 23 12

112 111Jz ml2 m( l) 3 ( )ml2 3 ml2 3212122 12

11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1) 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2) 边长为4a，质量为m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。

图11-29 (1)

11R2m22 JC mR m1R m1 m 26πR2π

11m3π 1JC mR2 R2 mR2 26π6π

m(π 1)m m m ππ

3π 1(π 1)m29π 7JO JC m R2 mR2 R mR2 6ππ6π

7 9πLO JO mR2 6π

(2)

11πa2π22JC m(4a) m1a m1 m m 26216a16

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81π256 3πJC ma2 ma2 ma2 321696

π16 πm m m m 1616

256 3π16 π256 3π 96 8 48πJO JC m (22a)2 ma2 m 8a2 mR2 961696

1024 51π mR2 96

51π 1024LO JO mR2 96

11-7 如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知vA；(2)当轮子又滚又滑时，已知vA、w。

图11-30

LB mvC(R e) JC mvc(R e) (JA me2) (1)

vA vC (R e) R

vvvLB m(R e)2A (JA me2)A [JA me2 m(R e)2]A RRR

(2)

vC vA e

LB m(vA e )(R e) JC

m(R e)vA me(R e) (JA me2)

[m(R e)vA (JA meR) ]

11-8 曲柄以匀角速度w绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A与B分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC＝AC＝BC＝l，曲柄质量为m，连杆质量为2m，试求系统在图示位置时对O轴的动量矩。

图11-31

AB (顺时针)

LO LOC LAB

LOC 12ml 3

124(2m)(2l)2( AB) 2ml2 ml2 ml2 1233LAB 2mvCl

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LOC 52ml 3

11-9 如图11-32所示的小球A，质量为m，连接在长为l的无重杆AB上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w0绕O1O2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F＝kmw，k为比例常数。问经过多少时间角速度w成为初角速度的一半？

图11-32

Lz ml2 Mz kml

dLz Mz dt

得 d k dtl

0 0

k ln t 0l

l l t ln0 t ln2 kk d tkdt l

11-10 水平圆盘可绕z轴转动。在圆盘上有一质量为m的质点M作圆周运动，已知其速度大小v0=常量，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆盘上的位置由f角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远（在点M0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f角的关系。

图11-33

Mz 0 Lz 常量

Lz0 mv0(l r) Lz Jz m(l2 r2 2lrcos ) mv0r mv0lcos Jz m(l r 2lrcos ) mv0r mv0lcos mv0(l r)

11-11 两个质量分别为m1、m2的重物M1、M2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r1、r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，试求鼓轮的角加速度。

图11-34

Lz JO m1v1r1 m2v2r2 v1 r1 v2 r2 22ml(1 cos )v0 22Jz m(l r 2lrcos )

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Lz (JO m1r12 m2r22)

Mz m1gr1 m2gr2

dLz Mz dt

22 (JO m1r1 m2r2) m1gr1 m2gr2

m1gr1 m2gr2 22JO m1r1 m2r2

11-12 如图11-35所示，为求半径R＝0.5m的飞轮A对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m1＝8kg的重锤，重锤自高度h＝2m处落下，测得落下时间t1＝16s。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m2＝4kg的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t2＝25s。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。

图11-35

vJ mR2

Lz (J mvR) (J mvR) ()v RR

Mz Mf mgR

dLz Mz dt

J mR2

)a mgR Mf (R

(J mR2)a (mgR Mf)R 22h (J mR)2 (mgR Mf)R t

(mgR Mf)Rt22 J mR 2h

第一次试验

(8 g 0.5 Mf) 0.5 162

J 8 0.5 2 2

J 2 32(4g Mf) (1) 2

第二次试验

(4 g 0.5 Mf) 0.5 252

J 4 0.5 2 2

J 1 78.125(2g Mf) (2) 2

(1)-(2)

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1 28.25g 46.12M5f

Mf 6.0238N m

由(1)得

J 32(4g Mf) 2 1059.6kg m2

11-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J，以初角速度w0绕其中心轴转动，见图11-36。设空气阻力矩与角速度成正比，方向相反，即M＝－kw，k为比例系数，试求在阻力作用下，经过多少时间角速度减少一半？在此时间间隔内叶轮转了多少转？

图11-36

刚体定轴转动微分方程 J

d M k dtd k dt J

020d 0tkdt J

1k t 2J

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